Standard Matris — Linjär transformation

Vad gör standardmatrisen av en linjär avbildning?

För standarmatrisen M så skall det gälla att

T(x) = Mx, för alla x i ${\mathrm{ℝ}}^2$. Speciellt gäller då

T((1,0)^T) = M$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ = Col₁(M)

T((0,1)^T) = M$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ = Col₂(M).

Smutstvätt skrev:

Vad gör standardmatrisen av en linjär avbildning?

Den byter på dens form och utseende, eller va? Jag vet inte riktigt :'(

Mycket riktigt, men standardmatrisen $\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$ motsvarar även transformationen av standardvektorerna, e1 och e2, till vektorerna $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ och $\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$. :) 

Okej! så svaret är alltså

$\begin{bmatrix}24&7\\4&11\end{bmatrix}$?

Eller

$\displaystyle \begin{bmatrix}7&24\\11&4\end{bmatrix}$?

Om det nu är skillnad på båda svaren?

PATENTERAMERA skrev:

För standarmatrisen M så skall det gälla att

T(x) = Mx, för alla x i ${\mathrm{ℝ}}^2$. Speciellt gäller då

T((1,0)^T) = M$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ = Col₁(M)

T((0,1)^T) = M$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ = Col₂(M).

Sorry, men det där säger inte mig så mycket :(

Om du har en linjär avbilding T: ${\mathrm{ℝ}}^2$ $\to$ ${\mathrm{ℝ}}^2$, så finns det alltid en (unik) 2x2 matris M sådan att

T($\overrightarrow{x}$) = M$\overrightarrow{x}$, för varje vektor $\overrightarrow{x}$i ${\mathrm{ℝ}}^2$.

Matrisen M kallas standardmatrisen för avbildningen T. Detta framgår säkert någonstans i ert kursmaterial.

Du har fått värdena på T$\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\right)$ och T$\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)$.

Om du multiplcerar vilken 2x2 matris om helst med $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ så blir resultatet den första kolumnen i matrisen - övertyga dig om att det är så. På motsvarande sätt får man den andra kolumnen i matrisen om man multiplicerar med $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.

Det betyder, om du beaktar definitionen av standardmatrisen M igen, att M:s första kolumn Col₁(M) ges av

T$\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\right)$,

och M:s andra kolumn Col₂(M) ges av

T$\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)$.

Således får du att 

M = $\left[\begin{array}{cc}7& 24\\ 11& 4\end{array}\right]$, och inget annat.

Hoppas det blev klarare.

Lycka till med tentan.

Jag har förstått det. Tack så mycket PATENTERAMERA<3 och Smutstvätt<3