10 svar
114 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen
dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 11:37

Standardsubstitution

Vi fick tipsen att ersätta såhär när vi har en krångligt integral.

Grejen är... hur hanterar man dy/dx i variabelsubstitution?

SeriousCephalopod 2150
Postad: 7 mar 2019 11:53 Redigerad: 7 mar 2019 12:43

Menar du vad man gör med dxdx i f(x)dx\int f(x) dx  vid substitution?

Då nyttjar man kedjeregeln

dx=dxdydydx = \frac{dx}{dy}dy

och substituerar dxdx med det uttrycket man får vid dxdydy\frac{dx}{dy} dy. Differentialen man får kan alltså vara symboliskt ganska komplicerad om man har otur.

Men som alltid är det bra att utgå från några konkreta problem.

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 12:18

Här:

Hur kan man fixa dessa problem med substitutionen som x=atan(y)x = a\tan(y)?

Smutstvätt 17460 – Moderator
Postad: 7 mar 2019 12:41

Varför vill du integrera talet med en substitution? Använd det du bevisat i a) för att hitta en primitiv till f(x)=1x2+16 istället. :)

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 13:10

Det är inte det jag frågar om :)

Dr. G 6791
Postad: 7 mar 2019 13:18

Vad får du om du provar med x = a*tan(y)? dx = ...*dy

Du blir också av med rottecknet med

x = a*cosh(y)? dx = ...*dy

Prova båda!

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 13:34

Jag blir av med rottecken. Men däremot, jag blir "på" med en massa saker som jag kan inte vara av med. 

(Herregud det var forfarligt grammatik)

 

1x2+a2x2+a2=atan(y) arctanx2+a2a = ydydx=11+x2+a2a·2xa

Det är som den värsta skorv i ett litet barns huvud! Försök bara att borsta den bort, det är helt omöjligt!

Arabisk cos (cosh) har vi inte misshandlat så mycket i denna kurs, så jag vill gärna fatta först med tangent.

Albiki 5096
Postad: 7 mar 2019 15:15
dajamanté skrev:

Det är inte det jag frågar om :)

Om du låter x=a·tanyx=a\cdot \tan y så blir

    dx=a·(1+tan2y)dyadx=(a2+x2)dydx = a\cdot (1+\tan^2y) dy \iff a\,dx = (a^2+x^2)\,dy

och integralen kan skrivas 

    1aa2+x2adx=1aa2+x2(y)dy=sign(a)·1+tan2ydy\int\frac{1}{a\sqrt{a^2+x^2}}a\,dx = \frac{1}{a}\int\sqrt{a^2+x^2(y)}\,dy = sign(a)\cdot\int\sqrt{1+\tan^2y}\,dy.

Albiki 5096
Postad: 7 mar 2019 15:18

Trigonometriska ettan visar att

    1+tan2y=1cos2y1+\tan^2y=\frac{1}{\cos^2y}

så att integralen är

    1|cosy|dy\int\frac{1}{|\cos y|}\,dy.

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 16:58
Albiki skrev:
dajamanté skrev:

Det är inte det jag frågar om :)

Om du låter x=a·tanyx=a\cdot \tan y så blir

    dx=a·(1+tan2y)dyadx=(a2+x2)dydx = a\cdot (1+\tan^2y) dy \iff a\,dx = (a^2+x^2)\,dy

och integralen kan skrivas 

    1aa2+x2adx=1aa2+x2(y)dy=sign(a)·1+tan2ydy\int\frac{1}{a\sqrt{a^2+x^2}}a\,dx = \frac{1}{a}\int\sqrt{a^2+x^2(y)}\,dy = sign(a)\cdot\int\sqrt{1+\tan^2y}\,dy.

Tack Albiki, försöker återkomma lite senare idag...

dajamanté 5139
Postad: 7 mar 2019 19:28 Redigerad: 7 mar 2019 19:30
Albiki skrev:
dajamanté skrev:

Det är inte det jag frågar om :)

Om du låter x=a·tanyx=a\cdot \tan y så blir

    dx=a·(1+tan2y)dyadx=(a2+x2)dydx = a\cdot (1+\tan^2y) dy \iff a\,dx = (a^2+x^2)\,dy

Om x = a tan y, jag förstår inte varför dxdy = acos2y dx = a dycos2y?

 

 

EDIT : Jag märkte att jag var nöjd med svaret av misstag!

Jag är jättenöjd mer era svar, men vi måste fortfarande klura ut den här!

Svara Avbryt
Close