46 svar
148 visningar
Yassi4 är nöjd med hjälpen!
Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019 Redigerad: 2 mar 2019

Stängsel och lite ekvation

Sarah har ett 30 m långt stängsel som hon använder för att stänga in en rektangelformad hage. Hon vill ha så stor area som möjligt. Ena sidan av rektangeln består av en vägg och behöver alltså inget stängsel. Om hon gör bredden 2 m och längden 26 m blir arean 52 m2.

a Hennes första förslag ger en area på 100 m2. Vilka mått får hagen då?

b Hennes nästa förslag ger en area på mer än 110 m2. Ge förslag på värden på längd och bredd.

c Vid hennes tredje förslag vet hon att hon hittat största möjliga area. Vilka värden på längd och bredd har hon då?

d Försök förklara varför hon kan vara säker på att detta måste vara största möjliga rektangel. Rita gärna.

 

Så här ser det ungefär ut:

 

Jag kan redan formeln till att svara för dessa typer av frågor som: Jag har så här mycket omkrets, jag vill ha störst area som möjligt, hur långa blir sidorna?

Jo, formeln av omkrets hos en rektangel är 2a+2b för att kunna räkna sidorna gör man 2a/2 så år man sammanlagt sidorna av 2 sidor. För att kunna hitta den största arean måste man ta det lägsta siffran och sen multiplicerar det med den andra möjliga sidan. Oj  - nu förklarade jag inte bra. Jag kan dra ett exempel

Omkretsen av en rektangel är 16 m´, jag vill ha det största arean som möjligt. Hur långa blir sidorna.

Nu, när jag vet att omkretsen är 2a+2b= 16m  kan jag göra så här 16/2 -  2a/2 -  är lika med 8 .

sammanlagt blir då a+b= 8m 

Så för att kunna veta det högsta arean man kan få som möjligt kan vi dra exemplar av det:

1 *7= 7 m2

2*6= 12 m2

3*5= 15 m2

4*4= 16 m2

Alltså är  4*4= 16 m2 det största arean av rektangeln. 

Vid det här problemlösningen vet jag inte hur man ska räkna. Tacksam för all hjälp!

I det här fallet skall ju inte stängslet gå runte hela hagen, utan bara runt 3 sidor. Om sidan-längs-väggen är a  meter och den vinkelräta sidan är b meter, hur uttrycker man då att det skall gå åt 30 meter stängsel?

Arean av hagen är ab. Kan du uttrycka detta utan att använda dig av variabeln b? (Det går eftersom du vet att det skal vara 30 m staket.)

(Löser ni så här svåra uppgifter i åttan? Jag skulle anse att den här uppgiften är en typisk Ma2-uppgift, särskilt som man skall visa att man har hittat det största värdet.)

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

I det här fallet skall ju inte stängslet gå runte hela hagen, utan bara runt 3 sidor. Om sidan-längs-väggen är a  meter och den vinkelräta sidan är b meter, hur uttrycker man då att det skall gå åt 30 meter stängsel?

Arean av hagen är ab. Kan du uttrycka detta utan att använda dig av variabeln b? (Det går eftersom du vet att det skal vara 30 m staket.)

(Löser ni så här svåra uppgifter i åttan? Jag skulle anse att den här uppgiften är en typisk Ma2-uppgift, särskilt som man skall visa att man har hittat det största värdet.)

Sorgligen, ja. Och, ursäkta jag tappade dig där. För att det finns 3 sidor borde det inte vara   2a+b eller a+b+c, nej ursäkta det där är för trianglar.

Och skriva en formel av "rektangelns" area, så om jag vet att omkretsen är 30m  och att 2a är 30/2=15 sammanlagt så nej jag tror inte att jag kan uttrycka arean utan b:et i formeln.

Rita en bild- den behöver inte alls vara så snygg som den i ditt inlägg - och markera var de 30 meterna stängsel finns. Kalla den sidan som är parallell med väggen a. Kalla de andra sidorna (de är ju lika långa) för b. Hitta ett uttryck som säger att det går åt 30 m stängsel till hagen.

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Rita en bild- den behöver inte alls vara så snygg som den i ditt inlägg - och markera var de 30 meterna stängsel finns. Kalla den sidan som är parallell med väggen a. Kalla de andra sidorna (de är ju lika långa) för b. Hitta ett uttryck som säger att det går åt 30 m stängsel till hagen.

Ursäkta, jag menade 2b+a borde vara 30 m, alltså omkretsen. 

Smaragdalena 25473 – Moderator
Postad: 2 mar 2019 Redigerad: 2 mar 2019

Ja, a+2b=30. Vad är då b? Du vill alltså ha fram ett uttryck b=...

Omkretsen är något annat. Omkretsen = 2a+2b, och vi vet att det är mer än 30 meter (eller lika med, om man är riktigt korkad).

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Ja, a+2b=30. Vad är då b? Du vill alltså ha fram ett uttryck b=...

Omkretsen är något annat. Omkretsen = 2a+2b, och vi vet att det är mer än 30 meter (eller lika med, om man är riktigt korkad).

30-2a=b?

Nej, försök igen. Du kan lösa ut a i stället, så blir det enklare beräkningar. Utgå alltså från att a+2b=30 och ta reda på vad a är.

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Nej, försök igen. Du kan lösa ut a i stället, så blir det enklare beräkningar. Utgå alltså från att a+2b=30 och ta reda på vad a är.

Oj! Ursäkta igen, jag råkade blanda ihop de. 30-a= 2b Och sen för att få b är det 2b/2

Som sagt, det blir enklare om du tar fram ett uttryck för a i stället, så slipper du nämnare och annat besvärligt.

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Yassi4 skrev:
Smaragdalena skrev:

Nej, försök igen. Du kan lösa ut a i stället, så blir det enklare beräkningar. Utgå alltså från att a+2b=30 och ta reda på vad a är.

Oj! Ursäkta igen, jag råkade blanda ihop de. 30-a= 2b Och sen för att få b är det 2b/2

Ok, nu förstår jag att jag kan inte använda formeln som vanligt för där måste alla 4 sidor vara tillsammans ,men jag kan göra 30/2=15 fortfarande för det är det som a+b är sammanlagt. 

Så jag har b, men a då? Jo, jag kan ta a:et sen multiplicera det med 2 och addera b:et. Så jag kom fram (genom att använda formeln) a och b. Så då blev det 100 m, men det där är omkretsen och inte arean.

Jag använde formeln för att se om det är möjligt att hitta arean av 100 m2 men det finns inte... den högsta är bara 7*8= 56 som har ungefär bara dubbelt kvar... 

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Yassi4 skrev:
Yassi4 skrev:
Smaragdalena skrev:

Nej, försök igen. Du kan lösa ut a i stället, så blir det enklare beräkningar. Utgå alltså från att a+2b=30 och ta reda på vad a är.

Oj! Ursäkta igen, jag råkade blanda ihop de. 30-a= 2b Och sen för att få b är det 2b/2

Ok, nu förstår jag att jag kan inte använda formeln som vanligt för där måste alla 4 sidor vara tillsammans ,men jag kan göra 30/2=15 fortfarande för det är det som a+b är sammanlagt. 

Så jag har b, men a då? Jo, jag kan ta a:et sen multiplicera det med 2 och addera b:et. Så jag kom fram (genom att använda formeln) a och b. Så då blev det 100 m, men det där är omkretsen och inte arean.

Jag använde formeln för att se om det är möjligt att hitta arean av 100 m2 men det finns inte... den högsta är bara 7*8= 56 som har ungefär bara dubbelt kvar... 

Ursäkta, jag menar 2b+a 

Nej, jag har inte sett att du har fått fram en korrekt formel för a än. Ta fram den först, innan du går vidare, annars hamnar du bara vilse. Du vet att a+2b=30. Vad är a?

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Nej, jag har inte sett att du har fått fram en korrekt formel för a än. Ta fram den först, innan du går vidare, annars hamnar du bara vilse. Du vet att a+2b=30. Vad är a?

30-2b=a

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Yassi4 skrev:
Smaragdalena skrev:

Nej, jag har inte sett att du har fått fram en korrekt formel för a än. Ta fram den först, innan du går vidare, annars hamnar du bara vilse. Du vet att a+2b=30. Vad är a?

30-2b=a

Eller 30-b*2=a alltså ingen skillnad

Ja, a=30-2b

Arean av en rektangel med sidorna a och b är ab. Skriv uttrycket för arean som en funktion av endast b, d v s sätt in att a=30-2b i A=ab. Vad får du för formel?

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Ja, a=30-2b

Arean av en rektangel med sidorna a och b är ab. Skriv uttrycket för arean som en funktion av endast b, d v s sätt in att a=30-2b i A=ab. Vad får du för formel?

area=a*30-a/2

alltså a*2b/2

Nej. Vad får du för formel om du sätter in att a=30-2b i formeln A=ab? Du skall alltså inte ha kvar några "a" i uttrycket, endast "b" och siffror. (Du kan ha nytta av parenteser.)

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Nej. Vad får du för formel om du sätter in att a=30-2b i formeln A=ab? Du skall alltså inte ha kvar några "a" i uttrycket, endast "b" och siffror. (Du kan ha nytta av parenteser.)

Oj! Ursäkta igen, jag råkade blanda ihop de. Area= b*30-b/2

Alltså b*2a/2

Smaragdalena 25473 – Moderator
Postad: 2 mar 2019 Redigerad: 2 mar 2019

Nej. Försök igen. Du skall inte ha något a i uttrycket och inget /2. Gör det jag skriver och inget annat.

Vad får du för formel om du sätter in att a=30-2b i formeln A=ab?

Fast förmodligen är det meningen att du skall pröva olika värden på a och b, eftersom det är åttans matte.

Yassi4 102
Postad: 2 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Nej. Försök igen. Du skall inte ha något a i uttrycket och inget /2. Gör det jag skriver och inget annat.

Vad får du för formel om du sätter in att a=30-2b i formeln A=ab?

Fast förmodligen är det meningen att du skall pröva olika värden på a och b, eftersom det är åttans matte.

oh! Jag vet b*30-0.5b.

Inte sant?

Inte sant. Du får att A = ab = (30-2b)b = 30b-b2. Vet du vad skollnaden är mellan b2 och b/2?

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Inte sant. Du får att A = ab = (30-2b)b = 30b-b2. Vet du vad skollnaden är mellan b2 och b/2?

b2= b*b 2b=b*2

Om du hade läst Ma2, skulle du ha vetat att maximivärdet för arean är mitt emellan nollställena, men i åttan får du nog prova dig fram.

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Om du hade läst Ma2, skulle du ha vetat att maximivärdet för arean är mitt emellan nollställena, men i åttan får du nog prova dig fram.

Jo, men min lärare sa att om man använda algebra metoden kan man få A-poäng. Och det som jag skrev i den originella posten att se vilken har den störst area, var det det du menade med maximum värdet?

Den största arean och maximivärdet är samma sak i den här uppgiften.

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Den största arean och maximivärdet är samma sak i den här uppgiften.

Jamen, det kan jag räkna. Men hur ska man kunna räkna det med hjälp av  30b-b2?

Sätt in ett värde på b i uttrycket för arean.

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Sätt in ett värde på b i uttrycket för arean.

30a-a2?

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Yassi4 skrev:
Smaragdalena skrev:

Sätt in ett värde på b i uttrycket för arean.

30a-a2?

Ursäkta a*30-a men jag kan inte skriva ett b utan att dividera det med 2...

Jag hade tappat bort en tvåa i formeln tidigare, den skall vara A=30b-2b2.

Om vi sätter in b=0 i formeln får vi A=0

Om vi sätter in b=1 i formeln får vi  A=30-2=28

Om vi sätter in b=2 i formeln får vi A=60-8=52

Om vi sätter in b=3 i formeln får vi A=90-18=72

Fortsätt själv!

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Jag hade tappat bort en tvåa i formeln tidigare, den skall vara A=30b-2b2.

Om vi sätter in b=0 i formeln får vi A=0

Om vi sätter in b=1 i formeln får vi  A=30-2=28

Om vi sätter in b=2 i formeln får vi A=60-8=52

Om vi sätter in b=3 i formeln får vi A=90-18=72

Fortsätt själv!

Men ska inte stängslen bara vara 30m???

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Yassi4 skrev:
Smaragdalena skrev:

Jag hade tappat bort en tvåa i formeln tidigare, den skall vara A=30b-2b2.

Om vi sätter in b=0 i formeln får vi A=0

Om vi sätter in b=1 i formeln får vi  A=30-2=28

Om vi sätter in b=2 i formeln får vi A=60-8=52

Om vi sätter in b=3 i formeln får vi A=90-18=72

Fortsätt själv!

Men ska inte stängslen bara vara 30m???

Alltså man sa själv att längden ska bara vara 30 m ????

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019 Redigerad: 3 mar 2019
Yassi4 skrev:
Yassi4 skrev:
Smaragdalena skrev:

Jag hade tappat bort en tvåa i formeln tidigare, den skall vara A=30b-2b2.

Om vi sätter in b=0 i formeln får vi A=0

Om vi sätter in b=1 i formeln får vi  A=30-2=28

Om vi sätter in b=2 i formeln får vi A=60-8=52

Om vi sätter in b=3 i formeln får vi A=90-18=72

Fortsätt själv!

Men ska inte stängslen bara vara 30m???

Alltså man sa själv att längden ska bara vara 30 m ????

Asså, jag vet redan att det är omöjligt att uppnå ett area som har 100m2 med omkretsen 30m , men varför ska man öka på omkretsen när man har redan det framför sig????

Yassi4, du vet väl att du kan redigera dina tidigare inlägg, så att du inte behöver spamma tråden så förfärligt?! /moderator

Det går att få fram en area som är större än 100 m2. Om du har bevisat att det inte går, så har du gjort fel.

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Yassi4, du vet väl att du kan redigera dina tidigare inlägg, så att du inte behöver spamma tråden så förfärligt?! /moderator

Det går att få fram en area som är större än 100 m2. Om du har bevisat att det inte går, så har du gjort fel.

Oj, ursäkta, jag är lite grann ny hos pluggakuten. 

Men måtten hos stängseln?

A=30b-2b2.

Om vi sätter in b=0 i formeln får vi A=0

Om vi sätter in b=1 i formeln får vi  A=30-2=28

Om vi sätter in b=2 i formeln får vi A=60-8=52

Om vi sätter in b=3 i formeln får vi A=90-18=72

Fortsätt själv!

Håll på tills du märker att arean börjar minska. Fundera på om det är några fler punkter du vill undersöka.

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

A=30b-2b2.

Om vi sätter in b=0 i formeln får vi A=0

Om vi sätter in b=1 i formeln får vi  A=30-2=28

Om vi sätter in b=2 i formeln får vi A=60-8=52

Om vi sätter in b=3 i formeln får vi A=90-18=72

Fortsätt själv!

Håll på tills du märker att arean börjar minska. Fundera på om det är några fler punkter du vill undersöka.

30*3.45-3.45?

Nej. Börja med heltalen tills duser när det börjar minska.

Yassi4 102
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Nej. Börja med heltalen tills duser när det börjar minska.

30*4-4? Om man avrundar kanske?

Jag fördtår inte vad det är du gör. Glömmer du att kvadrera?

Vad får du för värden om du stoppar in att b = 4,  5, 6, 7, 8, 9?

Albiki 3775
Postad: 3 mar 2019

Hej!

  • Staketets sida som är parallell med väggen har längden aa meter och staketets sida som är vinkelrät mot väggen har längden bb meter. 
  • Staketets längd är b+a+b=a+2bb+a+b = a+2b meter. Du vet att denna längd är 3030 meter, vilket betyder att den del av staketet som är parallell med väggen är a=30-2ba = 30-2b meter lång.

Tillsammans med väggen bildar staketet en rektangel vars bas är aa meter och vars höjd är bb meter så att dess area är a·ba\cdot b kvadratmeter. Med aa ersatt av uttrycket 30-2b30-2b kan arean skrivas som uttrycket

    (30-2b)·b=30b-2b2=2·(15b-b2).(30-2b) \cdot b = 30b - 2b^2 = 2\cdot (15b - b^2). 

Notera att b2-15bb^2 - 15b kan skrivas

    b2-2·7.5b=b2-2·7.5b+7.52-7.52.b^2 - 2\cdot 7.5 b = b^2 - 2\cdot 7.5b + 7.5^2 - 7.5^2.

Med hjälp av Kvadreringsregeln kan du skriva

    b2-2·7.5b+7.52=(b-7.5)2 ,b^2-2\cdot 7.5b + 7.5^2 = (b-7.5)^2\ ,

vilket gör att du kan skriva b2-15b=(b-7.5)2-7.52b^2-15b = (b-7.5)^2 - 7.5^2 och rektangelns area kan skrivas 

    2·(7.52-(b-7.5)2)=2·7.52-2·(b-7.5)2.2\cdot (7.5^2-(b-7.5)^2) = 2\cdot 7.5^2 - 2\cdot (b-7.5)^2.

Nu ser du att den största möjliga arean är ... och att den uppnås när b= ... vilket ger a = ... .

Smaragdalena 25473 – Moderator
Postad: 3 mar 2019 Redigerad: 3 mar 2019

Det som Albiki skriver i inlägget ovan är sådant man lär sig i Ma2, så känn dig inte dum för att du inte begriper.

Albiki 3775
Postad: 3 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Det som Albiki skriver i inlägget ovan är sådant man lär sig i Ma2, så känn dig imte dum för att du inte begriper.

Vad är det i mitt inlägg som är så avancerat att man måste gå på gymnasiet för att ha en chans att förstå inlägget? Omkretsen för en rektangel? Arean för en rektangel? Kvadreringsregeln?

Mitt inlägg använder kvadreringsregeln på ett sätt som är utmanande men inte omöjligt att förstå för de som lärt sig kvadreringsregeln.

Kvadreringsreglernalär man sig (ordentligt) i Ma2. De kan nämnas i Ma1. Jag tror inte man lär sig multiplicera ihop två parenteser med varann förrän i Ma1, i alla fall verkar det så om man tittar i Matteboken.se.

Albiki 3775
Postad: 3 mar 2019

Trådskaparen bad om att få hjälp med en lösning som använder algebra för att finna den största möjliga arean, så jag tänkte att jag kanske kan hjälpa till med detta. Men om kvadreringsregeln är för svår att förstå och om multiplikation av parenteser är för svårt att förstå för trådskaparen så är det bäst att lära sig dessa två saker först.

Yassi4 102
Postad: 4 mar 2019
Albiki skrev:

Trådskaparen bad om att få hjälp med en lösning som använder algebra för att finna den största möjliga arean, så jag tänkte att jag kanske kan hjälpa till med detta. Men om kvadreringsregeln är för svår att förstå och om multiplikation av parenteser är för svårt att förstå för trådskaparen så är det bäst att lära sig dessa två saker först.

Tack Albiki och Smaragdalena!

Svara Avbryt
Close