Stationära punkter, analys

Eftersom bivillkoret är en likhet måste du ha med det från början. (Om det varit en olikhet skulle du först ha kollat stationära punkter i det inre.) Det finns två sätt att använda bivillkoret, att parametrisera det som x=x(t), y0y(t) och på det sättet få en funktion av en variabel att söka max och min för eller att använda Lagrangemultiplikator. Om det stått x^2 och y^2 i bivillkoret hade parametriseringen x=2cos t, y=2sin t funkat men nu får du sätta upp lagrangefunktionen

L=xy + lambda*(x^4+y^4+2xy-4)

och söka max och min för den. Den nya variabeln lambda är du inte intresserad av så den försöker du eliminera så tidigt som möjligt.

 Så om jag har förstått det rätt beräknar jag först partiell derivatan av

$L=xy+\lambda x^4+\lambda y^4+2\lambda xy-4\lambda$

som då blir

$$\begin{gathered} f_x\text{'}=4\lambda x^3+2\lambda y+y=0 \\ {f}_y\text{'}=4\lambda y^3+2\lambda x+x=0 \\ {f}_{\lambda }\text{'}=x^4+y^4+2xy-4=0 \end{gathered}$$

normalt sätt ska man då lösa ut $\lambda$ ur $f_x\text{'} och f_y\text{'}$ och sedan sätta in i $f_{\lambda }\text{'}$ men om jag gör det på rak arm så kommer det följa med både x och y element. är det rätt väg att gå?

Du vill eliminera lambda mellan dom två första ekvationerna.

$$\begin{gathered} f_x\text{'}=4\lambda x^3+2\lambda y+y=0 \leftrightarrow \lambda =-\frac{y}{4x^3+2y} \\ {f}_x\text{'}=4\lambda y^3+2\lambda x+x=0 \leftrightarrow \lambda =-\frac{x}{4y^3+2x} \end{gathered}$$

och sedan sätta dem lika varandra?

$$\begin{gathered} -\frac{y}{4x^3+2y}=-\frac{x}{4y^3+2x} \\ \frac{y}{4x^3+2y}=\frac{x}{4y^3+2x} \end{gathered}$$

vad gör jag sedan?

kan bara se att $x=y$ om båda är positiva. hur får jag ur max och min nu? sätta in båda i $\lambda$ funktionen?