Stokes sats till att beräkna en kurvintegral

Tar tacksamt emot input på mitt lösningsförslag till följande problem:

"Beräkna kurvintegralen:

$_{\oint_{C} (y + 2 z) d x + (x + 2 z) d y + (x + 2 y) d z}$

Där C är skärningskurvan mellan klotytan $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ och planet $x + 2 y + 2 z = 0$

Använd Stokes sats."

Stokes sats:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot d S$

Då C är en enkel sluten kurva i rymden.

Om vi börjar med integranden:

$G = \nabla \times F = (\begin{matrix} \partial / \partial x \\ \partial / \partial y \\ \partial / d z \end{matrix}) \times (\begin{matrix} y + 2 z \\ x + 2 z \\ x + 2 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} G_{1} \\ G_{2} \\ G_{2} \end{matrix}), o b s i n t e p a r t i e l l a d e r i v a t o r$

Då har vi:

$\iint_{S} G \cdot d S$

Vilket vi kan skriva som dubbelintegralen:

$\iint_{D} (- G_{1} \cdot f_{y} - G_{2} \cdot f_{z} + G_{3}) d A$

f kommer från begränsningen ovan och är x-enkel. D är projektionen av C på yz-planet. f får jag av att:

$x + 2 y + 2 z = 0 \Rightarrow x = - 2 y - 2 z$

Vilket ger:

$\iint_{D} (- G_{1} \cdot f_{y} - G_{2} \cdot f_{z} + G_{3}) d A = \iint_{D} (0 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 2) + 0) d A = \iint_{D} 2 d A$

D är en ellips i yz-planet som ges av:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = {(- 2 y - 2 z)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 5 y^{2} + 8 y z + z^{2} = 1$

Jag gör här ett variabelbyte. Eftersom:

$5 y^{2} + 8 y z + z^{2} = y^{T} A y = (\begin{matrix} y & z \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix}) (\begin{matrix} y \\ z \end{matrix})$

Kan vi hitta en matris M, sådan att ovanstående kan uttryckas på formen:

$λ_{1} u^{2} + λ_{2} v^{2}$ , och lambdorna är matrisen A:s egenvärden. A:s egenvärden är:

${(5 - λ)}^{2} - 16 = λ^{2} - 10 λ + 9$

$λ = 5 \pm \sqrt{25 - 9}$

$λ_{1} = 9, λ_{2} = 1$

$A = (\begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

Matriserna har samma determinant, vilket betyder att ellipserna har samma area.

Jag har nu definierat ett nytt område K som ges av:

$9 u^{2} + v^{2} = 1$

$\iint_{D} 2 d z d y = 2 \iint_{K} d u d v$

Här kan man göra ett till variabelbyte och beräkna arean av K på polära koordinater:

$u = \frac{t}{3}, v = s \Rightarrow \iint_{K} 2 d u d v = \iint_{P} 2 |\frac{\partial (u, v)}{\partial (t, s)}| d t d s P : t^{2} + s^{2} = 1, e n c i r k e l |\frac{\partial (u, v)}{\partial (t, s)}| = 1 / 3$

Vi får då:

$\iint_{P} 2 |\frac{\partial (u, v)}{\partial (t, s)}| d t d s = \frac{2}{3} \iint_{P} d t d s = \frac{2}{3} \iint_{P} r d r d θ \frac{2}{3} \iint_{P} r d r d θ = \frac{2}{3} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r d r d θ = \frac{2 π}{3}$

bror Förlåt jag kan inte hjälpa dig men vi har gått genom det här men jag själv förstår inte

Svara Avbryt