Storleken av en cyklisk grupp
Finn antalet element i〈276,672 〉, den minsta delgruppen till (Z1440,+)
som innehåller både 276 och 672.
Jag har beräknat sgd(276, 672), så delgruppen måste genereras av〈12〉.
Hur kan jag nu hitta storleken på den minsta delgruppen i Z1440 ?
Du vill alltså hitta antalet element i gruppen <12>, detta är ju helt enkelt bara 1440/12 = 120 stycken.
Men notera att detta inte är den minsta delgruppen, det är bara den minsta delgruppen som innehåller både 276 och 672. Den minsta delgruppen är {0}.
Stokastisk skrev :Du vill alltså hitta antalet element i gruppen <12>, detta är ju helt enkelt bara 1440/12 = 120 stycken.
Men notera att detta inte är den minsta delgruppen, det är bara den minsta delgruppen som innehåller både 276 och 672. Den minsta delgruppen är {0}.
Känns som att jag har missat något varför är svaret 1440/12? Kommer elementen som är med att vara <12> = {0, 12, 24, ... , 1440 -12 }. Vad är det som säger att den minsta (icka tomma) delgruppen <a> har storlek |G|/a ?
Missade att det var en additionsgrupp antog att det var en multiplikationsgrupp.
12^m = 1440 <=> 12m = 1440 => m = 120
Eftersom 12 är en generator till gruppen så kommer ju elementen vara dem du skrev. Därför innehåller alltså den gruppen 120 stycken element.
Vi vet att <276, 672> måste innehålla 12 eftersom vi vet att det finns två heltal sådana att 276x + 672y = 12.
Alla undergrupper till en cyklisk grupp är cykliska och vi vet att den sökta gruppen måste innehålla 12. Den minsta grupp som innehåller 12 är alltså <12> vilket också uppenbart innehåller 276 och 672. Så detta måste vara den minsta gruppen som innehåller 276 och 672.
(Om jag ska vara lite petig nu också, en grupp kan inte vara tom, en grupp innehåller alltid enhetselementet)
