Större än noll för alla x

Om vi substituerar $a = e^x$ bara för att förenkla uttrycket lite blir det

$\displaystyle a^2 - a + \frac 14$

Notera att $a = 2\cdot a \cdot \frac 12$ och $\displaystyle \frac 14 = \left(\frac 12\right)^2$

Alltså kan vi skriva uttrycket som

$\displaystyle a^2 - 2\cdot a \cdot \frac 12 + \left(\frac 12\right)^2$

Men titta där! Det är en kvadrat enligt kvadreringsreglerna och är lika med

$\displaystyle \left(a-\frac 12\right)^2$

Så $\displaystyle f\left(x\right) = \left(e^x - \frac 12\right)^2$

En kvadrat är självklart aldrig negativ, så $f(x) \geq 0$