Största och minsta värde i cirkelskiva x^2+y^2<=1

Jag löste den med denna parametrisering,men får ej samma svar som facit.

Du redovisar alldeles för lite för att det skall gå att följa med i hur du tänker. Är det stationära punkter inuti skivan du letar efter, eller undersäker du områdets rand?

Smaragdalena skrev:

Du redovisar alldeles för lite för att det skall gå att följa med i hur du tänker. Är det stationära punkter inuti skivan du letar efter, eller undersäker du områdets rand?

Stationära punkter inuti skivan. Hur undersöker jag områdets rand? Jag försökte parametrisera med x=rcost och y=rsint men den metoden funkar ej alls för att lösa uppgiften. Jag får en jobbig uttryck enligt bilden ovan. Ska jag sätta r=1?

Om du skall undersöka områdets rand kan du sätta r = 1, eller utnyttja att $y = \pm \sqrt{1-x^2}$. Jag har inte kollat vilket som verkar enklast i just det här fallet.

Smaragdalena skrev:

Om du skall undersöka områdets rand kan du sätta r = 1, eller utnyttja att $y = \pm \sqrt{1-x^2}$. Jag har inte kollat vilket som verkar enklast i just det här fallet.

Det funkade ej med y=+-sqrt(1+x^2) då jag satte x=t då facit fick att största värde är 9/4 medan jag fick det till 0. Får man fråga varför man gör på det andra sättet? Varför funkar ej x=t samt y=+-sqrt(1-t^2)?

Jag tycker cos(t) och sin(t) kunde vara lämpligt.

Trinity2 skrev:

Jag tycker cos(t) och sin(t) kunde vara lämpligt.

Aa facit använde också det men jag förstår ej skälet. en annan sak de skriver ej x=rcost och y=rsint när de parametriserar utan de använder r=1. Varför gör de det?

Du har undersökt det "inre" området. Kvar återstår randen, den beskrivs av 

x^2+y^2=1

Det är en enhetscirkel.

Den parameteriserar vi som

x(t) = cos(t)

y(t) = sin(t)

och ersätter x och y i funktionen

f

=x^2+2y^2-x

=x^2+y^2+y^2-x   // x^2+y^2=1 på randen

=1+y^2-x

=1+sin(t)^2-cos(t)

=1+(1-cos(t)^2)-cos(t) // trig-ettan

=2-cos(t)^2-cos(t)

Nu kan man kasta sig över denna och derivera med avseende på t. Det är säkert så de gör i boken. Prova och återkom med dina räkningar, sedan kan jag lära ut ett knep om så önskas.

Trinity2 skrev:

Du har undersökt det "inre" området. Kvar återstår randen, den beskrivs av 

x^2+y^2=1

Det är en enhetscirkel.

Den parameteriserar vi som

x(t) = cos(t)

y(t) = sin(t)

och ersätter x och y i funktionen

f

=x^2+2y^2-x

=x^2+y^2+y^2-x   // x^2+y^2=1 på randen

=1+y^2-x

=1+sin(t)^2-cos(t)

=1+(1-cos(t)^2)-cos(t) // trig-ettan

=2-cos(t)^2-cos(t)

Nu kan man kasta sig över denna och derivera med avseende på t. Det är säkert så de gör i boken. Prova och återkom med dina räkningar, sedan kan jag lära ut ett knep om så önskas.

Yes så gör de i facit. Men då ska jag undvika att parametrisera med x=rcost och y=rsint eftersom r=1 ligger på randen. Jag vet att vid dubbelintegraler brukar man skriva x=rcost och y=rsint och sen är randen i ett givet intervall 

Ja, i det härfallet är r=1 eftersom det är ekvationen

x^2+y^2=1

HL är r^2 i den allmänna cirkelformen

x^2+y^2=r^2.  = cirkel med radien r

Här har du alltså r=1

Hade området varit

x^2+y^2=4

hade du använt r=2 och haft

x=2cos(t)

y=2sin(t)

Trinity2 skrev:

Ja, i det härfallet är r=1 eftersom det är ekvationen

x^2+y^2=1

HL är r^2 i den allmänna cirkelformen

x^2+y^2=r^2.  = cirkel med radien r

Här har du alltså r=1

 

Hade området varit

x^2+y^2=4

hade du använt r=2 och haft

x=2cos(t)

y=2sin(t)

Ja men hur hade det varit om vi skulle haft x^2+y^2<1 ? Då kan man ju ej skriva x= cost och y=sint 

Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.

Jämför med y=x på intervallet [0,1)

Vad är minsta och vad är största värde för y?

Trinity2 skrev:

Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.

Jämför med y=x på intervallet [0,1)

Vad är minsta och vad är största värde för y?

Aa okej största saknas för 1 ingår ej. Minsta är 0

destiny99 skrev:

Trinity2 skrev:

Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.

Jämför med y=x på intervallet [0,1)

Vad är minsta och vad är största värde för y?

Aa okej största saknas för 1 ingår ej. Minsta är 0

Rätt. Det blir samma sak på ett öppet område som x^2+y^2<1, det är i 2 dimensioner istället för 1.

Sedan kan det finnas ett max i området, det beror på f, men randen ingår ej iaf.

Antag nu att det finns en topp (max) i det inre. Då kan man fråga sig "Om vi inte randen är med, vad händer nära randen? Kan det vara så att f överstiger max nära randen?"

Vad man gör i dessa fall är att man skriver

x=r cos(t)

y=r sin(t)

och så undersöker man hur f beter sig när r->1 i olika riktningar t. Kanske det kommer en sådan uppgift längre fram i din bok.

Trinity2 skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Trinity2 skrev:

Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.

Jämför med y=x på intervallet [0,1)

Vad är minsta och vad är största värde för y?

Aa okej största saknas för 1 ingår ej. Minsta är 0

Rätt. Det blir samma sak på ett öppet område som x^2+y^2<1, det är i 2 dimensioner istället för 1.

Sedan kan det finnas ett max i området, det beror på f, men randen ingår ej iaf.

Antag nu att det finns en topp (max) i det inre. Då kan man fråga sig "Om vi inte randen är med, vad händer nära randen? Kan det vara så att f överstiger max nära randen?"

Vad man gör i dessa fall är att man skriver

x=r cos(t)

y=r sin(t)

och så undersöker man hur f beter sig när r->1 i olika riktningar t. Kanske det kommer en sådan uppgift längre fram i din bok.

Aa jag har ej stött på en sån uppgift eller sett i pdf än. Jag ville bara veta hur man ska tänka i en sån situation