13 svar
213 visningar
DuckD25 89
Postad: 19 apr 2021 23:44

Största volym på kon

Jag vet inte hur jag ska kunna derivera volymfunktionen med 2 okända variabler.

Tomten 637
Postad: 20 apr 2021 12:55

Radien r får du betrakta som en given konstant, ty annars kan du får hur stor volym på konen som helst bara genom att välja r tillräckligt stort. Det är medelpunktsvinkeln i cirkelsektorn som är din variabel och som kan ha ett värde för maximal volym för det givna värdet på r. Du har således inte två variabler att derivera. Lite knegig derivata bara.

DuckD25 89
Postad: 20 apr 2021 13:15

Du menar r2 ?

Tomten 637
Postad: 20 apr 2021 13:23

Ser inte riktigt vad du skrivit i fig, men det är cirkelsektorns radie (i texten angiven som r) som du får betrakta som en given konstant. Ditt r är väl bottenytans radie och den beror på r och på den variabla medelpunktvinkeln.

DuckD25 89
Postad: 20 apr 2021 17:00

Men hur ska man få ett numeriskt värde när V´(α) = 0? Även om man betraktar radien som en konstant? Den finns ju fortfarande kvar i uttrycket. 

Tomten 637
Postad: 20 apr 2021 17:39

Förmodar att alfa är din medelpunktsvinkel. Den givna radien r får du ha med i svaret. Däremot måste du hitta det värde på alfa som ger störst volym och bestämma denna volym för detta alfa-värde.

Laguna Online 19919
Postad: 20 apr 2021 18:00

Om uttrycket är korrekt ska radien gå att bryta ut, så att du får en faktor r3r^3.

Tomten 637
Postad: 20 apr 2021 19:15

Jepp! Så blev det för mig också. Denna faktor kan alltså tack och lov sättas utanför derivationen (derivatans linjäritet).

DuckD25 89
Postad: 20 apr 2021 19:34

Jag fick volymen :

V = π32π-αr1π*r21-2π-αr1π

Och dess derivata:

V'(α) = -π32-αr1π2r21-2-r1απ-r1r21-2-r1απ62-αr1π

Berty von Fjerty 85
Postad: 20 apr 2021 22:48 Redigerad: 20 apr 2021 22:52
DuckD25 skrev:

Jag fick volymen :

V = π32π-αr1π*r21-2π-αr1π

Och dess derivata:

V'(α) = -π32-αr1π2r21-2-r1απ-r1r21-2-r1απ62-αr1π

Det ser inte ut att stämma. Du kan få negativa värden i rotuttrycken, vilket betyder att volymen inte är definierad för alla r>0. 

Berty von Fjerty 85
Postad: 20 apr 2021 22:51

Du borde kunna klippa ut en bit ur en cirkelskiva med vilken radie som helst för att göra en kon.

Berty von Fjerty 85
Postad: 20 apr 2021 23:25

Om vi är överens om att konens basytas radie är rK=rC1-α2π, kan du t.ex förenkla uttrycket genom att låta 1-α2π=k.

Radien blir då istället rK=rCk och höjden hK=r2C-r2Ck2=rC1-k2.

Volymfunktionen, en funktion av k, blir mycket mer kompakt och derivatan blir inte alls lika knölig att utvärdera. Hoppas det var begripligt.

Det var så jag löste det i alla fall. Ni andra i tråden får stoppa mig om jag är fel ute.

henrikus 527 – Live-hjälpare
Postad: 20 apr 2021 23:28 Redigerad: 20 apr 2021 23:28

Du borde kunna tänka så här. Vilken är den största volymen av en kon med dimensioner enligt nedan:

V(x)=πx2r2-x23

Eftersom alla möjliga bottenradier (0<x<r) kan man få till genom att klippa papperet.

boaja 1
Postad: 1 apr 10:39

Jag har samma uppgift, och tänkte själv på följande vis:

(R är radien på cirkeln, alltså konens sida vilken är konstant, r är konens radie och h är konens höjd)

Pyt. ger att R2=r2+h2

Vi kan skriva om det till:

r2=R2-h2 vilket är smidigt, då det finns ett r2 i den allmänna formeln för koners volym.

Då kan vi skriva följande formel:

v(h)=πh(R2-h2)3=πhR23-πh33

Derivat kan ge min/max-punkt om den är lika med 0, så vi får följande ekvation:

v'(h)=πR23-πR2=0

viket efter förenkling ger:

±R3=h

vi vet att endast det positiva stämmer, finns inga negativa mått, plus att vi kan gissa vilken form den negativa 3-gradsformeln har.

Vi kan stoppa in R3i formeln för volymen och sedan se vad vi får.( vmax=πR3(R2-(R3)2)3)

Detta ger att vmax=2π243R3

Tror detta är rätt i alla fall...

Svara Avbryt
Close