Strukturen i induktionsbevis

Kan du visa vad som faktiskt står i facit? Facitkedjan som du tecknat stämmer nämligen inte.

I allmänhet har man frihet när man håller på med att bevisa en likhet m.h.a. matematisk induktion:

• Man kan starta på vänsterledet och göra omskrivningar m.h.a. induktionsantagandet tills man kommit fram till det önskade högerledet.
• Man kan lika gärna starta på högerledet och göra omskrivningar där tills man kommit fram till det önskade vänsterledet
• Man kan också starta med ett relevant uttryck och skriva om det på två olika sätt, det ena sättet i enlighet med VL och det andra sättet i enlighet med HL. Om jag tolkar facitkedjan rätt, så är det detta som gjordes. Vet inte varför. Denna metod kan bli rätt så ointuitiv.

Man brukar starta med det led där det är enklast att utnyttja induktionsantagandet. I denna konkreta uppgift skulle jag nog säga att den logiska kedjan som du skrivit först (d.v.s. ej facit) är enklast.

LuMa07 skrev:

Kan du visa vad som faktiskt står i facit? Facitkedjan som du tecknat stämmer nämligen inte.

 

I allmänhet har man frihet när man håller på med att bevisa en likhet m.h.a. matematisk induktion:

• Man kan starta på vänsterledet och göra omskrivningar m.h.a. induktionsantagandet tills man kommit fram till det önskade högerledet.
• Man kan lika gärna starta på högerledet och göra omskrivningar där tills man kommit fram till det önskade vänsterledet
• Man kan också starta med ett relevant uttryck och skriva om det på två olika sätt, det ena sättet i enlighet med VL och det andra sättet i enlighet med HL. Om jag tolkar facitkedjan rätt, så är det detta som gjordes. Vet inte varför. Denna metod kan bli rätt så ointuitiv.

Man brukar starta med det led där det är enklast att utnyttja induktionsantagandet. I denna konkreta uppgift skulle jag nog säga att den logiska kedjan som du skrivit först (d.v.s. ej facit) är enklast.

Jättebra, tack för svaret!! Då förstår jag hur man antingen kan börja i HL eller VL och göra omskrivningar tills man kommer fram till det andra ledet, och att man kan börja där det blir lättast att använda induktionsantagandet!

Den tredje punkten/facit-metoden förstår jag ännu inte! Förstår inte heller varför det likhetstecknet blir fel i bilden, men känner mig lätt förvirrad av alla delar involverade...

Såhär står det i facit:

Då kör facit också den första logiska kedjan. De har visat m.h.a. induktionsantagandet att

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3$

och sedan försöker de på något sätt motivera att

$\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$.

Det är denna sista likhet i kedjan där de flyttat runt termerna. (Vet inte varför; tycker det inte gör saker enklare.)

Den önskade likheten $\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$ är nämligen ekvivalent med likheten $\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2 = \left(n+1\right)^3$, så de visar den istället.

Själv skulle jag föredra att visa att $\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$ gäller genom att bryta ut $(n+1)^2$ i vänsterledet och de återstående termerna bildar $(n+2)^2/4$ enligt kvadreringsregeln.

ytrewq skrev:

Förstår inte heller varför det likhetstecknet blir fel i bilden, men känner mig lätt förvirrad av alla delar involverade...

Till vänster om likhetstecknet står det summan $\sum_1^n k^3 + (n+1)^3$, men till höger om likhetstecknet står det bara $(n+1)^3$ fast lite omskrivet. Det är alltså olika uttryck.

LuMa07 skrev:

Då kör facit också den första logiska kedjan. De har visat m.h.a. induktionsantagandet att

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3$

och sedan försöker de på något sätt motivera att

$\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$.

Det är denna sista likhet i kedjan där de flyttat runt termerna. (Vet inte varför; tycker det inte gör saker enklare.)

Den önskade likheten $\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$ är nämligen ekvivalent med likheten $\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2 = \left(n+1\right)^3$, så de visar den istället.

Själv skulle jag föredra att visa att $\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + \left(n+1\right)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right)^2$ gäller genom att bryta ut $(n+1)^2$ i vänsterledet och de återstående termerna bildar $(n+2)^2/4$ enligt kvadreringsregeln.

ytrewq skrev:

Förstår inte heller varför det likhetstecknet blir fel i bilden, men känner mig lätt förvirrad av alla delar involverade...

Till vänster om likhetstecknet står det summan $\sum_1^n k^3 + (n+1)^3$, men till höger om likhetstecknet står det bara $(n+1)^3$ fast lite omskrivet. Det är alltså olika uttryck.

Tack för svaret! 🙏 Känns bra att ha lite mer grundläggande koll på hur man gör såna slags uppgifter!