Sudden/adiabatisk approx. kvantmek.

Du vet vågfunktionen vid t = 0. Uttryck den i den nya hamiltonianens egenfunktioner, som ju bildar en bas. Dessa vet du sedan hur de evolverar i tiden.  

Okej tack. Menar du att jag ska göra ett basbyte något i stil med 

 där f= final och i = initial och U är transformationsmatrisen som fungerar på följande sätt

(eller kanske f=$U^{+}$i )

 och därefter evolvera i tiden?

Du har skrivit upp den nya hamiltonianens egenfunktion med lägst energi. Hur ser övriga egenfunktioner ut? Projicera din vågfunktion på dessa. Då har du hur det ser ut vid t = 0 uttryckt i hamiltonianens egenfunktioner. Sedan kan du t.ex använda time-evolution operator på det tillståndet. 

Vågfunktionen är direkt efter brunnens utvidgning

$|\psi \left(0\right)>$

där vi vet hur den representeras i vanliga x-koordiniater som

$\psi \left(0\right) = <x|\psi \left(0\right)>=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi x}}{a}\right), 0 < x < a$

Utveckla vågfunktionen i nya hamiltonianens egenfunktioner (som du vet hur de ser ut i x-representationen)

$|\psi \left(0\right)>=\left(\sum _n|{\phi }_n><{\phi }_n|\right)|\psi \left(0\right)>=\sum _n<{\phi }_n|\psi \left(0\right)>|{\phi }_n>=\sum _n{c}_n\left(0\right)|{\phi }_n>$

Kan du hitta uttryck för koefficienterna c_n(0)?

Tack så mycket för all hjälp! Ja jag försökte hitta uttryck för koefficienterna c_n(0) och fick då följande

$-\frac{\sqrt{2}}{a}\sum _n\left(\sin \left(\frac{x\pi }{a}\right)\right)\left(\sin \left(\frac{xn\pi }{2a}\right)\right)$

vilket antagligen är helt fel, men jag tänkte att $\overline{){\phi }_n}>=\sum _n\sqrt{\frac{1}{a}}\sin \left(\frac{\pi xn}{2a}\right)$ .

Du verkar ha glömt att integrera!

I x-representationen är den inre produkten

$<{\phi }_n\left|\psi \right(0)>=\int {{\phi }^{*}}_n\psi (0) dx$

Du vet att

$\psi \left(0\right)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi x}}{a}\right)$

för x mellan 0 och a, samt att

${\phi }_n=\sqrt{\frac{2}{2a}}\sin \left(\frac{n\mathrm{\pi x}}{2a}\right)$

för x mellan 0 och 2a.

Vad blir då den inre produkten ovan?

Asså det blir ju en integral med två olika gränser för de två olika funktionerna, så jag antar att det blir en dubbelintegral men är väldigt osäker

${\int }_0^a\left({\int }_0^{2a}\sqrt{\frac{1}{a}}\sin \left(\frac{\pi x\text{'}n}{2a}\right)dx\text{'}\right)\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right)dx$

Nej, ingen dubbelintegral.

"Egentligen" ska du integrera över alla x, d.v.s från -oändligheten till oändligheten, men här är ju vågfunktionen bara nollskilld mellan 0 och a (och basfunktionen bara nollskilld mellan 0 och 2a), så då räcker det med att integrera från 0 till a!

Okej tack! Jag räknade ut integralen och fick då

$\frac{\sqrt{2}}{a}{\int }_0^a\sin \left(\frac{\pi xn}{2a}\right)\sin \left(\frac{\pi x}{a}\right)dx=\frac{\sqrt{2}}{a}\left(\frac{4a\sin \left({\displaystyle \frac{\pi n}{2}}\right)}{4\pi -\pi n^2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{\pi }\left(\frac{4\sin \left({\displaystyle \frac{\pi n}{2}}\right)}{4-n^2}\right)$

vilket då borde vara min c_n(0) 

Ja, det är nog rätt. Ser du att sinusfaktorn är 0, 1 eller - 1? Alla jämna c_n (utom 2 som du får beräkna separat) blir då 0.

Nu kan vi slänga på tidsförloppet genom att operera med exp(-i*H*t/hbar) på vågfunktionen vid t = 0. Då allt är uttryckt i H:s egenvektorer så blir det rätt smidigt. 

Jag förstår :) tusen tack för all hjälp!

Det var bara kul. Visst är det skoj med kvantmekanik? 

Helt ärligt tycker jag inte det är speciellt skoj eftersom jag har jättesvårt att förstå den. Det är så ointuitivt och jag har verkligen jättesvårt med notationen. Det krävs så himla mycket för att förstå. Kursen jag går nu är avancerad kvantmekanik, det är verkligen ingen dans på rosor!

Där ser man! Återkom gärna med fler frågor. Själv tycker jag att dirac-notationen är väldigt smidig.