Summa, heltal större än 0.

$2=1+1$

Spontant så ser det ut som läge för ett induktionsbevis.

Antagande: $\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=2^n=(1+1{)}^n$
$(1+1{)}^n$ kan utvecklas med binomialsatsen: $(1+1{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)1^{n-k}·1^k$Allt som 1 upphöjs till är lika med 1. Därför återstår bara $(1+1{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$

Klart? 

Utgår du från Binomialsatsen krävs inget induktionsbevis. Då är allt du behöver göra att sätta in $x=1$ och $y=1$ i

$\displaystyle\left(x+y\right)^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{n-k}y^k$

vilket efter lite förenklingar ger:

$\displaystyle2^n=\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$

Det jag tycker är svårt med bevis är att veta vilka satser man får använda. Kan man använda sig av Binomialsatsen utan att behöva bevisa den i det här fallet? Hur vet man det? (Ja, detta är en fråga jag tycker att jag inte fått svar på, trots att jag läst ganska mycket matte.)