29 svar
345 visningar
Porkshop är nöjd med hjälpen
Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2018 18:05

Summa och produkt av komplexa rötter

Bestäm summan och produkten av samtliga rötter till ekvationen

z^7+(3-i)z^6 + πz^3+e=0

Jag har helt ärligt ingen aning om hur jag ens ska börja med uppgiften.

Tacksam för svar!

Micimacko 2594
Postad: 30 dec 2018 18:11

Alla ekvationer kan skrivas som (z-rot1)(z-rot2)... Börja med egna andragradare eller tredjegradare osv och se vad som händer. Välj enkla tal och räkna ut innan vad du letar efter. 

Bubo 2974
Postad: 30 dec 2018 18:29

Som Micimacko skriver, så går din ekvation att skriva som

(z-rot1)*(z-rot2)*(z-rot3)*(z-rot4)*(z-rot5)*(z-rot6)*(z-rot7) = 0

Vi vet inte värdena på de sju rötterna, men vi vet att ekvationen kan skrivas så. Produkten av alla de där faktorerna blir noll då, och enbart då, någon av parenteserna är noll.

Det är inte jätteenkelt att multiplicera ihop parenteserna, men det går. Det blir 196 termer att addera ihop. En enda av de termerna innehåller z^7, och en enda av de termerna innehåller z^0 (dvs enbart konstanterna rot1, rot2, ...) i någon kombination.

Vad är den termen som innehåller z^7 ?

Vad är den termen som enbart innehåller konstanter?

tomast80 3507
Postad: 30 dec 2018 18:38

z7=z7·1z^7=z^7\cdot 1

Bubo, jag antar att du menar z6-termen?

Bubo 2974
Postad: 30 dec 2018 18:44
tomast80 skrev:

z7=z7·1z^7=z^7\cdot 1

Bubo, jag antar att du menar z6-termen?

 Nej, men jag tänkte komma dit efter de bägge enklaste termerna. :-)

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2018 19:17
Bubo skrev:

Vad är den termen som innehåller z^7 ?

Vad är den termen som enbart innehåller konstanter?

 Jag vet inte riktigt hur jag ska göra detta, binomialsatsen funkar ju bara på binom. Man skulle ju kunna multiplicera in alla faktorerna, men det blir väldigt mycket arbete. Finns det något lättare sätt?

Termen som innehåller z^7 borde dock vara 1 eftersom att man bara väljer z och Inga andra termer.

Termen som innehåller enbart konstanter borde vara rot1*rot2*…*rot7, men jag vet ju inte rötterna

Laguna 14525
Postad: 30 dec 2018 19:32
Porkshop skrev:
Bubo skrev:

Vad är den termen som innehåller z^7 ?

Vad är den termen som enbart innehåller konstanter?

 Jag vet inte riktigt hur jag ska göra detta, binomialsatsen funkar ju bara på binom. Man skulle ju kunna multiplicera in alla faktorerna, men det blir väldigt mycket arbete. Finns det något lättare sätt?

Termen som innehåller z^7 borde dock vara 1 eftersom att man bara väljer z och Inga andra termer.

Termen som innehåller enbart konstanter borde vara rot1*rot2*…*rot7, men jag vet ju inte rötterna

Vet du produkten av dem?

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 30 dec 2018 19:38 Redigerad: 30 dec 2018 20:15

Jag vet att koefficienten framför z^6 termen är (3-i)

Så någon kombination av termer från (z-rot1)*(z-rot2)*(z-rot3)*(z-rot4)*(z-rot5)*(z-rot6)*(z-rot7) ska bli z^6

Sen kan jag väll sätta likheten att denna product är lika med (3-i) och att koefficienten framför z^3 är π

Koefficienten framför Z^0 är också e

Så -rot1*-rot2*-rot3*…*-rot7 = e

Jag ser att koefficienten framför z^6 är (3-i) men I faktorform kan det ju antingen vara z^6*rot1 , z^6*rot2 osv.

Hur ska jag härleda en ekvation för att lösa ut koefficienterna på ett enkelt sätt utan att behöva multiplicera ihop alla termerna?

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 31 dec 2018 20:14 Redigerad: 31 dec 2018 20:18

Jag får verkligen inte till det...

Det enda jag kommit fram till är att (-rot1)*(-rot2)*…*(-rot7) = e (rot1)*(rot2)…*(rot7) = -e

Men jag vet inte hur jag ska gå vidare med summan av rötterna.

Affe Jkpg 6796
Postad: 31 dec 2018 23:22 Redigerad: 31 dec 2018 23:29

Jag läser uppgiftens första mening. Behöver man leta efter alla sju rötterna för att lösa uppgiften?

Exempel: Summera sju vektorer i det imaginära planet och den sista (sjunde) vektorn pekar väl på reala- ( x-) axeln med värdet "-e"?

Micimacko 2594
Postad: 31 dec 2018 23:43

Jag vet egentligen inte svaret, men har en ganska stark känsla av att de andras svamlande om z^6 där uppe betyder nånting. Har du testat att utveckla en likadan av lägre grad för att se?

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2019 07:00

Jag har testat mig fram på polynom av lägre grad, men kan inte lista ut vad jag letar efter.

Det där med summan av 7 vektorer med sista på -e är precis så jag tänkt, men jag kan inte komma på hur man ska få reda på vilka det är...

tomast80 3507
Postad: 1 jan 2019 07:48
Porkshop skrev:

Jag har testat mig fram på polynom av lägre grad, men kan inte lista ut vad jag letar efter.

Det där med summan av 7 vektorer med sista på -e är precis så jag tänkt, men jag kan inte komma på hur man ska få reda på vilka det är...

 Gå tillbaks till den ursprungliga frågan, vad exakt är de ute efter?

Härledning för polynom av grad 2:

x2+px+q=0x^2+px+q=0

(x-x1)(x-x2)=x2-x·x1-x·x2+x1·x2=(x-x_1)(x-x_2)=x^2-x\cdot x_1-x\cdot x_2+x_1\cdot x_2=

x2-(x1+x2)x+x1x2=x2+px+qx^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=x^2+px+q\Rightarrow

x1+x2=-px_1+x_2=-p

x1x2=q

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2019 08:13

 Justdet, jag fattar nu vad du går efter och hur jag ska härleda ekvationen. Men att multiplicera ihop alla binom blir väldigt jobbigt, finns det något effektivare sätt?

Smaragdalena 54364 – Lärare
Postad: 1 jan 2019 08:38

Induktionsbevis, kanske?

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2019 08:49

Hur menar du? Jag har verkligen ingen aning.

AndersW 957
Postad: 1 jan 2019 10:03

Men det går ju att bryta ut z^3 ur ekvationen vilket innebär att vi har en trippelrot i z=0 så produkten av samtliga rötter blir enkel.

Detta lämnar oss med ett fjärdegradspolynom att undersöka vilket ger lite lättare beräkningar. Är det dessutom inte så att komplexa rötter till ett polynom är parvis varandras komplexkonjugat? Det ger oss fler ledtrådar.

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2019 10:10

Jo, men jag kan inte bryta ut z^3 från e

Micimacko 2594
Postad: 1 jan 2019 10:17

Jag kan inte heller se att noll skulle vara en rot. Jag testade såhär, du kan bara strunta i allt småkraffs om vi tittar på z^6, för det kommer aldrig upp i så hög grad ändå, så går det ganska fort att bara ta bort parenteserna. 

AndersW 957
Postad: 1 jan 2019 10:37

Usch vad slarvigt av mig, jag missade den termen. Så produkten blir inte 0.

Då gäller det att vi får 1, 3 eller 5 reella rötter  och 6, 4 eller 2 komplexa rötter som är parvis varandras komplexkonjugat. ( det kan inte bli 7 reella rötter då vi har komplexa faktorer) detta innebär att både summan och produkten kommer att bli reella tal.

Är det inte så att produkten kan vi läsa ut direkt med tanke på vad Tomast80 och Affe jpg sagt ovan?

Porkshop 191 – Fd. Medlem
Postad: 1 jan 2019 10:46 Redigerad: 1 jan 2019 10:51

Ja men så är det ju. Därmed är -(1+2+3+4+5+6+7) = 3-i (1+2+3+4+5+6+7) = -3 + i vilket är svaret.

Då löste jag uppgiften såhär:

a)w = z7+(3-i)z6+πz+e=0 = (z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4)(z-z5)(z-z6)(z-z7)e = (-z1)(-z2)(-z3)(-z4)(-z5)(-z6)(-z7)  z1z2z3z4z5z6z7 = -eb) (z-z1)(z-z2) = z2-(z1+z2)z + a1 Där an är irrelevanta konstaner eller variabler.(z2-z1+z2z+a)(z-z3) = Z3-(z1+z2+z3)z2+a2 w= z7-(z1+z2+z3+z4+z5+z6+z7)z6+a7 -(z1+z2+z3+z4+z5+z6+z7) = 3+i  z1+z2+z3+z4+z5+z6+z7 = -3+i

Tack för all hjälp allihop!

Men hur skulle jag kunna gå till väga för att lösa hela ekvationen eller måste man gissa nollställen?

Och skulle ni löst uppgiften på ett annat sätt? Jag vill gärna ha många metoder i förrådet :)

Edit:

Oj, det blev inte så snyggt formerat. Jag vet inte hur jag fixar...

Laguna 14525
Postad: 1 jan 2019 11:14
AndersW skrev:

Men det går ju att bryta ut z^3 ur ekvationen vilket innebär att vi har en trippelrot i z=0 så produkten av samtliga rötter blir enkel.

Detta lämnar oss med ett fjärdegradspolynom att undersöka vilket ger lite lättare beräkningar. Är det dessutom inte så att komplexa rötter till ett polynom är parvis varandras komplexkonjugat? Det ger oss fler ledtrådar.

Rötterna är varandras konjugat bara om polynomet har reella koefficienter. I övriga fall kan man ju alltid ta godtyckliga komplexa tal och göra ett polynom, t.ex (z-2i)(z+3i).

Laguna 14525
Postad: 1 jan 2019 11:16

För att hitta rötterna måste man troligen använda numeriska metoder. De har nog bara kastat in lite roliga tal som koefficienter här eftersom vi inte behöver hitta rötterna.

AndersW 957
Postad: 1 jan 2019 11:46

Note to self: Två koppar kaffe innan du börjar svara på pluggakuten. :)

tomast80 3507
Postad: 1 jan 2019 11:59

Förslag på lösning nedan:

Laguna 14525
Postad: 1 jan 2019 21:08

Jag tog reda på alla rötterna, och de är fördelade lite roligt: en på ungefär -3+i och de övriga i tre par som nästan är varandras konjugat precis innanför enhetscirkeln.

Micimacko 2594
Postad: 1 jan 2019 21:10

Hur tog du reda på dem?

Laguna 14525
Postad: 1 jan 2019 21:17 Redigerad: 1 jan 2019 21:17
Micimacko skrev:

Hur tog du reda på dem?

Skrev ett litet program, alltså ren numerisk behandling, med Newton-Raphsons metod. Men det finns förmodligen webbsidor som gör hela jobbet, t.ex. wolfram och sånt.

tomast80 3507
Postad: 1 jan 2019 21:17
Micimacko skrev:

Hur tog du reda på dem?

 Gissningsvis via Wolfram Alpha e.d.:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E7%2B(3-i)z%5E6+%2B+%CF%80z%5E3%2Be%3D0

AlvinB 3987
Postad: 1 jan 2019 21:49 Redigerad: 1 jan 2019 21:55

Lösningen till detta ges rakt av med Vietas formler som säger att för ett polynom av grad nn:

anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0

(där an0a_n\neq0)

är summan av dess rötter x1,x2,...,xn-1,xnx_1,x_2,...,x_{n-1},x_n:

i=1nxi=-an-1an\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n}

och produkten:

i=1nxi=-1na0an\displaystyle\prod_{i=1}^nx_i=\left(-1\right)^n\dfrac{a_0}{a_n}

I vårt fall är n=7,an=1n=7,a_n=1, an-1=3-ia_{n-1}=3-i och a0=ea_0=e vilket ger att summan av rötterna är -3+i-3+i och produkten -e-e.

Svara Avbryt
Close