Summan av 24 olika fyrsiffriga naturliga tal.

Ofta underlättar det att börja med något enklare, för att förstå principen. 

Vad är summan av de tvåsiffriga tal som kan bildas av siffrorna 1 och 2?

sictransit skrev:

Ofta underlättar det att börja med något enklare, för att förstå principen. 

Vad är summan av de tvåsiffriga tal som kan bildas av siffrorna 1 och 2?

Antalet tal: 2•2=4

Kombinationer: Jag förstår inte hur jag räknar ut hur många ggr 2 och 1 förekommer i kombinationerna. För exempelvis 2, vilket räknesätt passar och varför? -, +, •? Med vad? 4 eller 1, något annat? 

Testa sig fram: Jag vill helst inte göra detta. Får jag 2917 tal, vad ska jag göra då? 12, 21, 22, 11 Här kan jag se att 2 förekommer 4 ggr, men 2 ggr som antingen ental eller tiotal. Likadant med 4. 

Jag kan inte riktigt visa vad, när och hur jag tänker i det som jag skriver men innan jag hann skicka detta så har jag i alla fall en uppdatering redan: Jag tänkte om för att minnas vad som multiplikation eller division står för. Inte en så komplicerad version av deras definitioner då, men det hjälpte mig att sätta fokuset på 4/2 och 2 (kan inte skriva multiplikationen för 2).

2 passar med avsikten att hitta hur många tal som har 2 på 10-talsplatsen. Egentligen är det bättre när man har 3+ tal, då skulle man exempelvis kunnat ta 3 x 3 = 9 om man hade siffrorna 1, 2 och 3 som bildar 27 tresiffriga naturliga tal, så jag undrar ifall det funkar om jag hade resonerat fram att det blir 2 tal som har en 2:a som antingen 10-tal eller ental, för när jag bara har 2 siffror så kan jag inte skriva en multiplikation (utifrån denna metod), utan det blir bara 2 siffror kvar på entalsplatsen när 2:an är ett 10-tal och när det är 1 och 2 som bildar 4 2-siffriga naturliga tal. Har jag fel i mitt tänk så uppskattas korrigeringar!

Angående 4/2 så tänker jag att detta låter oss räkna hur många gånger som 1 och 2 får stå som ental eller tiotal också. Jag definierar 2:an här som 2 kategorier: att vi endast har ental och tiotal, dvs 2 kategorier. Jag testade detta med ett annat exempel där 5, 2, 3 och 4 bildar 4•4•4•4 4-siffriga naturliga tal (som inte behöver vara olika). I ett 4-siffrigt tal finns kategorierna tusental, hundratal, tiotal och ental = 4 kategorier. Jag delar därmed 4•4•4•4 med 4 vilket ger oss att varje siffra står på de 4 positionerna 4•4•4 ggr = 64 ggr (för att när t.ex 5 står på tusentals-positionen så 3 kategorier enbart lediga där siffrorna som vi kan lägga in i kategorierna är 4 stycken, dvs 2, 3, 4 och 5. Därför tar vi 4•4•4 och resultatet blir att 64 tal har siffran 5 som ett tusental).

Om det finns 64 olika tal för alla 4 siffror som står på en av positionerna så är värdet av talen = 64(5+4+3+2) = 64•14 = 896 och så får man lägga till positionsvärde: 1000-tal: 896000 + 100-tal: 89600 + 10-tal: 8960 + ental: 896 

Allt sammanlagt: 995456

Nu kan jag komma tillbaka till din fråga och min egen! 

För talen 1 och 2: 2(2+1) = 2•3 = 6 Summan: 60 + 6 = 66

För talen 1,2,3 och 4: 

1. I denna uppgift används siffrorna en gång per tal, därför får vi 4x3x2x1 = 24 olika 4-siffriga naturliga tal. I varje kategori/position förekommer siffran 24/4 = 6 ggr.

2. Vad är värdet av talen? 6(4+3+2+1) = 6•10 = Tusental: 60000 + Hundratal: 6000 + Tiotal: 600 + Ental: 60

3. Summan blir 66660

Jag har då en ny fråga: på vilka andra sätt kan jag lösa uppgiften?

För 12, 123 och 1234 är det enkelt att göra saker manuellt som du gör

Men vad händer om du istället ska hantera 1,2,3,4,5, eller 1,2,3,4,5,6?

Går det att hitta ett sätt (en formel) eller en algoritm för att direkt beräkna summan av de n-siffriga talen som uppstår vid permutationer av $1,2,3,\dots ,n$, för godtyckliga $n$?

(talet $n$ måste ju såklart vara mindre än basen 10, annars blir hela problemet lite galet)

Det här var formeln jag hittade, men det går lika bra att hitta på en helt egen algoritm eller en egen formel / recept! Och det vackraste sättet vinner!

Verkar vara en välkänd fråga (och resultat) med/utan 0 och andra varianter.

Detta verkar fungera i MMA (och det finns säkert kortare och mera kryptiska alternativ):

T[n_] := Total[Permutations[Range[1, n]] . Table[10^k, {k, n - 1, 0, -1}]]

Talet n får väljas med omsorg.