Summan av ett rationellt tal och ett irrationellt tal

Ett motsägelsebevis bygger på att vi antar motsatsen till det vi vill bevisa.

I det här fallet kan du anta att y är rationellt, dvs $y=\frac{c}{d}$ där $c,d$ är heltal. Lös sedan ut det irrationella talet $x$.

Är detta möjligt, varför / varför inte?

Det är det jag inte fattar, varför är det inte då rationellt

Följ tipset: lös ut x. Vad får du då?

Jag ser inget samband

$\frac{a}{b}+x=y$

Vi antar att $y$ är ett rationellt tal $y=\frac{c}{d}$

Lös ut $x$:

$x=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}$

Gör liknämnigt:

$x=\frac{cb-ad}{bd}$

Kommer du vidare därifrån?

Tips: a, b, c och d är alla heltal.

tyvärr fattar jag fortfarande inte? Vad händer vid cb-ad/bd

R.zz skrev:

tyvärr fattar jag fortfarande inte? Vad händer vid cb-ad/bd

Om du undrar hur man går från högerledets $\frac{c}{d}-\frac{a}{b}$ till $\frac{cb-ad}{bd}$ så skriver man uttrycket på ett gemensamt bråkstreck efter att först förlänga första termen med b och andra termen med d:

$\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{cb}{db}-\frac{ad}{bd}=\frac{cb-ad}{bd}$.

Eller var det fortsättningen du funderade på?

Det är fortsättningen jag fastnar på, vad de olika variablerna innebär för vårt bevis

OK, du kan tänka så här:

Eftersom både a, b, c och d är heltal så är högerledets

• täljare (cb-ad) ett heltal, vi kan kalla det n
• nämnare (bd) ett heltal, vi kan kalla det m

Det betyder att vi får

$x=\frac{n}{m}$, där både n och m är heltal.

• Vad säger det dig om egenskaperna hos x?
• Stämmer det med vad vi utgick ifrån? 

Vi skulle försöka motvisa oss genom att lägga påståendet att summan av ett rationellt och ett irrationellt tal ska vara rationellt

Du fick x=n/m fast det är ju rationellt 

vad är det jag uppfattar fel?

 Vad är X för slags tal från början?

Juste x var irrationellt därför blir motsägelsen fel 

Nu börjar det likna något. Men det är inte motsägelsen som är ”fel”utan antagandet att y var rationellt. Se D4niels inlägg.

Precis som din förra tråd (den med delbarhet med 3) så är det här en övning i att Skriva Ut Ett Logiskt Resonemang. Utan detta lär inte lösningen bli godkänd och själv riskerar man att inte begripa vad man gör.

1. Börja med att presentera vad dina bokstäver betyder. T ex ”Låt à och b vara heltal och x ett irrationellt tal”

2. Skriv ut påståendet (=det du ska bevisa)

3. Sen skriver du ”Antag motsatsen att…..” följt av negationen till påståendet.

4. Här fortsätter du som t ex i Yngves inlägg och kommer fram till att då blir X rationellt i strid mot att X var irrationellt.

5. Så kommer slutklämmen: ”Av motsägelsen följer påståendet” och beviset är klart.