Summation

Hej, har följande uträkning där:

$E\left(X_i\right)\hspace{0.17em}=0, E\left({X^2}_i\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{\sigma }^2$ jag har även Cauchy Schwarz inequlity där: $E\left(\right|X_i{X}_j\left|\right) =\hspace{0.17em}\sqrt{E\left({X^2}_i\right)E\left({X^2}_j\right) } =\hspace{0.17em}{\sigma }^2$

Håller på att visa att en Random Process är en Martingale men där jag stöter på problem har egentligen bara med summa att göra, har kommit till att: 

$E\left(\right|M_n\left|\right) \le \sum _{i\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1}^{n}E\left({X^2}_i\right) + \underset{i\hspace{0.17em}<j}{\overset{}{2\sum }}E(|X_i{X}_j|) + n{\sigma }^2 \le n{\sigma }^2 + \underset{i\hspace{0.17em}<j}{\overset{}{2\sum }}{\sigma }^2 + n{\sigma }^2$, där sista olikheten är pga Cauchy.

I facit kommer dom dock fram till att: $\sum _{i\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1}^{n}E\left({X^2}_i\right) + \underset{i\hspace{0.17em}<j}{\overset{}{2\sum }}E(|X_i{X}_j|) + n{\sigma }^2 \le n{\sigma }^2 + \frac{n(n-1)}{2}{\sigma }^2+n{\sigma }^2$, vilket borde betyda att: $\underset{i\hspace{0.17em}<j}{\overset{}{2\sum }}{\sigma }^2 \hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{n(n-1)}{2}{\sigma }^2$

Hur kommer det sig, jag antar att det borde vara så att i rör sig över intervallet [1,n) medan j rör sig i intervallet (1,n] men lyckas inte lista ut varför summationen blir som den blir.

Tacksam för hjälp! :)