Summor

Nej det stämmer inte,resultatet bör endast bero på n. Hur många termer innehåller

$\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^j{x}_{ijk}$

Tänk på att antalet termer i den sista summan förändras med j, svaret på bara denna fråga bör endast bero på i.

Okej. Jag fick att de två första summorna totalt har $i^2$ termer. Stämmer detta?

Nej det stämmer inte. När j = 1 så har den sista summan 1 term, när j = 2 så har sista summan 2 termer, när j = 3 så har sista summan 3 termer, osv. Detta innebär att antalet termer i summan blir

$\sum _{j=1}^{i}j$

Vad blir denna summa?

Hmm. Jag förstår inte ännu riktigt. 

Den allra första summan blir alltså

$\underset{k=1}{\overset{j}{\sum x_{ijk}}}=x_{ij1}+x_{ij2}+...+x_{ij(j-1)}+x_{ijj}$

Känner mig något hjärndöd för tillfället....

Ja den första summan blir det, vilket alltså är j stycken termer, eller hur?

Det är alltså nästa steg som jag inte förstår. Kan du förklara närmare? 

Eftersom du har

$\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^j{x}_{ijk}$

Den sista summan har j stycken termer. Så om vi kollar på den första summan, så börjar vi ju med att j = 1, då får vi 1 term från den andra summan. När j = 2 så får vi två termer från den andra summan, ..., när j = i så får vi i stycken termer från den andra summan.

Därför är antalet termer vi har i denna summa

$\sum _{j=1}^{i}j$

stycken.

Exempelvis, om i = 2 så har vi ju att

$\sum _{j=1}^2\sum _{k=1}^j{x}_{2jk}=\sum _{k=1}^1{x}_{2,1,k}+\sum _{k=1}^2{x}_{2,2,k}=\{1 term\} + \{2 termer\} =\hspace{0.17em}\{3 termer\}$

Nu tror jag att jag fattar.

Jag får alltså

$\sum _{i=1}^n\left[\sum _{j=1}^i\sum _{k=1}^j{x}_{ijk}\right]=\sum _{j=1}^1\sum _{k=1}^j{x}_{1jk}+...+\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^j{x}_{njk}=\sum _{k=1}^1{x}_{11k}+...+(\sum _{k=1}^1{x}_{11k}+...+\sum _{k=1}^n{x}_{nnk})$

Antalet termer blir alltså 1 + 3 + 6 + 10 + 15 +...

Denna summa kan även skrivas som

$antalet termer = \sum _{i=1}^n\frac{n(n+1)}{2}$

Är detta korrekt?

Det är inte helt korrekt, antalet termer är

$\sum _{i=1}^n\frac{i(i + 1)}{2}$

Detta går att förenkla ännu mer, så man får en sluten formel för det.

Oj. Fel notation. Jag börjar bli något trött...

Vad menar du med sluten formel?

Tack ska du ha så jättemycket för hjälpen! 

Googlade runt litet och fann att summan är

$S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Tack än en gång för hjälpen!

Jag menar att det går att skriva helt utan summor. Man har att

$\sum _{i=1}^n\frac{i(i + 1)}{2}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{i}^2+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\sum _{i=1}^{n}i=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\sum _{i=1}^n{i}^2+\frac{n(n + 1)}{4}$

Sedan finns det en formel för summan för i^2, men den kan jag inte utantill, men det är ju enkelt att kolla upp/härleda. Så fortsätt förenkla detta.