Summor och talföljder med e

Uppgiften $\sum _{k=1}^n{e}^{-k}$ löses enligt mina beräkningar

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^n{e}^{-k} = \sum _{k=1}^n(\frac{1}{e}{)}^k = \frac{1}{e}\sum _{k=0}^n(\frac{1}{e}{)}^{k-1} = \\ = \frac{1}{e}\left(\frac{({\displaystyle \frac{1}{e}}{)}^{n+1-1}-1}{{\displaystyle \frac{1}{e}}-1}\right) = \frac{1({\displaystyle \frac{1}{e^n}}-1)}{e({\displaystyle \frac{1}{e}}-1)} =\frac{{\displaystyle \frac{1}{e^n}}-1}{1-e} \end{gathered}$$

Enligt facit ska svaret vara 

$\frac{{\displaystyle 1-\frac{1}{e^n}}}{e-1}$

Var gör jag fel?