Svår problemlösning gällande trigonometri...

Man behöver inte ta hänsyn till möjligheten att $b = -7.5$. En sådan teckenvändning hos amplituden kan lika gärna uttryckas m.h.a. förskjutning av fasen med pi.

• Jämviktsläget fås som medelvärdet av största och minsta värdet, d.v.s. $a = \frac{17.5+32.5}{2}=25$.
• Amplituden är avståndet från jämviktsläget till maximumet, d.v.s. $b = 32.5 - 25 = 7.5$
• Period är en vecka. Eftersom $t$ anges i enheten "dygn", så är $c=7$ [dygn]

Det återstår att hitta värdet på $d$ så att M(3.5) = 28. (Det finns säkert flera möjliga lösningar $d$)

$\displaystyle M(3.5)=25+7.5\sin\frac{2\pi(3.5-d)}7=25+7.5\sin(\pi-\frac{2\pi d}7)=\lbrack\text{additionsformeln}\rbrack=25+7.5\sin\frac{2\pi d}7$

Löser alltså ekvationen

$\displaystyle 25+7.5\sin\frac{2\pi d}7 = 28 \iff \sin\frac{2\pi d}7 = \frac{3}{7.5}= \frac{2}{5}$

Denna ekvation har två lösningar inom en period:

• $2 \pi d / 7 = \arcsin(2/5) \iff d \approx 0.4585$
• $2 \pi d / 7 = \pi - \arcsin(2/5) \iff d \approx 3.0415$

Om man skissar grafen till $y=M(t)$ för dessa två värden på $d$, så ser man att det är bara $d \approx 3.0415$ som stämmer överens med beskrivningen att mängden ökar under arbetsveckan och minskar vid veckoslutet.

Modellen är alltså  $M\left(t\right) = 25 + 7.5 \sin \dfrac{2\pi\,(t-3.0415)}{7}$. Nu är det bara att lösa ekvationen $M(t) = 28$. (Man vet att $t=3.5$ är en av lösningarna, men det finns en till inom en period, nämligen $t=6.083$).

Anm: Hade man använt $d \approx 0.4585$ i modellen $M(t)$, så skulle man få den andra tidpunkten $t\approx 0.917$. Det här värdet på $d$ gör dock att mängden luftföroreningar ökar hela lördagen, söndagen och måndagen, men under tisdagen börjar den minska, vilket strider mot beskrivningen i uppgiften.

Min slutsats: Det är fel i facit i boken Matematik 5000+, kurs 4

Tack!