Svår rotekvation

Pröva en  annan substitution:

Sätt  y = x² + 18x  och se vad det kan ge

(ett infall bara, har inte provat det)

Det funkar med substitutionen

t = x²+18x+45

vilket ger ekvationen

$t-15=2\sqrt{t}$

som efter kvadrering ger

$t^2+225-30t =4t$

som har lösningarna

t = 25 och t = 9

Den ena roten är falsk och ska förkastas, ser du vilken?

substituera sen tillbaka, observera att du inte behöver lösa ut dina x, det räcker att hitta produkten av de två rötterna. Var hittar du den?

9 är den falska roten då t=9 ger VL: 9-15=-6 och HL=6. Alltså VL≠HL.

Om jag sedan ersätter t med 25 och löser ut x blir det 9 +/- roten ur 60. Dock är jag lite osäker med vad du menar att jag inte behöver lösa ut mina x och att det räcker med att hitta de två produkterna av rötterna. Menar du att det är 20 (q) enligt vietes samband?

just det!

q termen i pq är rötternas prodkt.

Elle1 skrev:

9 är den falska roten då t=9 ger VL: 9-15=-6 och HL=6. Alltså VL≠HL.

Om jag sedan ersätter t med 25 och löser ut x blir det 9 +/- roten ur 60. Dock är jag lite osäker med vad du menar att jag inte behöver lösa ut mina x och att det räcker med att hitta de två produkterna av rötterna. Menar du att det är 20 (q) enligt vietes samband?

Produkten av de rötter du anger  är   81 - 60  = 21.  Stämmer inte  med 20.
Kolla uträkningen igen och du ska finna att de är  -9 ± rot(61) med produkten  81-61=20

Mitt förslag till substition i #2  gav så lkomplicerade räkningar att jag gav upp,
Det måste finnas enklare sätt!   Och det hade ju du redan prövat.

Hur skulle Mathematica ha hanterat den ursprungliga ekvationen?

             Solve[x²+ 18 x + 30 == 2 Sqrt[x² + 18 x + 45]]

           {{x -> -9 - Sqrt[61]}, {x -> -9 + Sqrt[61]}}

Snyggt!  Rätt direkt, inga falska rötter.
Två reella rötter med produkten  81 - 61 = 20.

Pröva själv att lägga in ekvationen på inmatningsraden i    https://www.wolframalpha.com/
och tryck på röda rutan ute till höger , den med likhetstecken