Svår uppgift gällande matematisk induktion...

Ett sätt att visa att 

$\displaystyle -\frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)^2} < - \frac{1}{n+1}$

är flytta runt lite, vilket ger det ekvivalenta påståendet 

$\displaystyle \frac{1}{n+1}+\frac{1}{\left(n+1\right)^{2}}<\frac{1}{n}$

Vi sätter allt på samma bråkstreck i VL, vilket ger 

$\displaystyle \frac{n+2}{\left(n+1\right)^{2}}<\frac{1}{n}$

Multiplicera nu båda led med $n>0$ och utveckla parentesen i nämnaren, vilket ger att påståendet från början är ekvivalent med

$\displaystyle \frac{n^{2}+2n}{n^{2}+2n+1}<1$

Vilket är ett rätt uppenbart sant påstående. Täljaren är liite större än nämnaren.