Svår uppgift gällande rekursionsformler (Matematik/Matte 5/Talföljder och bevisteknik)

När du tittar på a-uppgiftens facit:

förstår du hur de kom på dessa två uttryck för y?

Likheten i b-uppgiften kan nämligen bevisas enligt exakt samma princip som utnyttjades i a-uppgiften.

Visa spoiler

Kolla i figuren ovan. Antag att:

y-koordinaten för mittpunkten av $n$ :te cirkeln betecknas med $y_n$ .
radien av $n$ :te cirkeln betecknas med $r_n$

(a)-uppgiften:

$y_2$ kan uttryckas på två sätt:

Det var givet att $y_2 = r_2^2 + \frac14$ .
Man kan gå från $y_1$ uppåt med $r_1 + r_2$ steg, så $y_2 = y_1 + r_1 + r_2$ . Det var givet att $r_1 = 1$ och därmed $y_1 = r_1^2 + \frac14 = 1^2 + \frac14$ . Dessa insatta i $y_2$ ger att $y_2 = \underbrace{1^2 + \frac14}_{=y_1} + \underbrace{1}_{=r_2} + r_2$

Det är olika uttryck för samma storhet ( $y_2$ ), så de är lika:

$1^2 + \frac14 + 1 + r_2 = r_2^2 + \frac14 \iff r_2^2 - r_2 - 2 = 0 \iff r_2 = 2 \text{ eller } r_2=-1$

Radien är positiv, så $r_2 = 2$ .

(b)-uppgiften

Samma resonemang används. $y_{n+1}$ kan uttryckas på två sätt:

Det var givet att $y_{n+1} = r_{n+1}^2 + \frac14$ .
Man kan gå från $y_n$ uppåt med $(r_n+r_{n+1})$ steg, så $y_{n+1} = y_n + r_n + r_{n+1}$ . Det var givet att $y_n = r_n^2 + \frac14$ . När detta sätts in i $y_{n+1}$ , så fås att $y_{n+1} = \underbrace{r_n^2 + \frac14}_{=y_n} + r_n + r_{n+1}$ .

Det är olika uttryck för samma storhet ( $y_{n+1}$ ), så de är lika:

$r_{n+1}^2 + \frac14 = r_n^2 + \frac14 + r_n + r_{n+1}$

När man flyttar över $r_{n+1}$ till VL och subtraherar $\frac14$ från båda leden, så får man att $r_{n+1}^2 - r_{n+1} = r_n^2 + r_n$ , vilket skulle visas.

Tack! Nu förstår jag både a och b. Jag har länge försökt med c men kommer ingen vart.

Utgå från sambandet $r_{n+1}^2 - r_{n+1} = r_n^2 + r_n$ , som kan skrivas om som $r_{n+1}^2 - r_{n+1} - r_n^2 - r_n = 0$ .

Detta är en andragradsekvation i variabeln $r_{n+1}$ , så man kan lösa ut $r_{n+1}$ m.h.a. pq-formeln, där $p=-1$ och $q = - r_n^2 - r_n$

Visa spoiler

$\displaystyle r_{n+1} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{ (\frac12)^2 - \left(- r_n^2 - r_n\right)} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + 4r_n^2 + 4r_n}{4}}$ .

Enligt kvadreringsformeln baklänges är $1 + 4r_n + 4r_n^2 = (1+2r_n)^2$ , så man kan faktiskt lätt dra kvadratroten:

$\displaystyle r_{n+1} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{(1 + 2r_n)^2}{2^2}} = \frac{1}{2} \pm \frac{1 + 2r_n}{2}$ , vilket ger alltså att

$r_{n+1} = -r_n$ (falsk lösning)
eller
$r_{n+1} = 1 + r_n$ (sann lösning)

Precis så löste facit uppgiften. Men får man ansätta rn+1 till en variabel? Varför? I vilka fall kan jag göra det? Facit säger att det gäller eftersom rn+1 beror av rn på samma sätt som y beror av x.

Går det också att lösa med hjälp av induktion?

Anonym_15 skrev:
Går det också att lösa med hjälp av induktion?

Vilket jag försökte med.

Anonym_15 skrev:
Precis så löste facit uppgiften. Men får man ansätta rn+1 till en variabel? Varför? I vilka fall kan jag göra det? Facit säger att det gäller eftersom rn+1 beror av rn på samma sätt som y beror av x.

Det finns två symboler i sambandet $r_{n+1}^2 - r_{n+1} = r_n^2 + r_n$ , nämligen $r_n$ och $r_{n+1}$ . Namnet på de här symbolerna är oväsentligt så länge man är konsekvent med beteckningen. Sambandet kan lika gärna skrivas om som $t^2 - t = s^2 + s$ ifall man döpt om $r_n =: s$ och $r_{n+1} =: t$ .

Sambandet $t^2 - t = s^2 + s$ kan betraktas som en ekvation och då kan man lösa ut $t$ ur denna ekvation (vilket jag gjorde i #4). Enligt frågeställningen är det exakt $t=r_{n+1}$ som man vill lösa ut, så det känns naturligt att göra just det. Det går dock lika bra att lösa ut $s$ istället:

$0 = s^2 + s - t^2 + t$ är en andragradsekvation i variabeln $s$ . pq-formeln ger då att

$s_{1,2} = \dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 -\left(-t^2 + t\right)} = \cdots = \dfrac{-1 \pm \sqrt{(2t-1)^2}}{2} = \left\{\,\begin{array}{c} t-1 \\ \text{eller} \\-t \end{array}\right.$

Man kommer fram till $s = t-1$ . På så sätt har man visat att $r_n = r_{n+1} - 1$ , vilket är ekvivalent med det man ville visa. Notera dock att man löst ut $r_n$ och man behöver ta ett till steg (flytta över ettan) för att lösa ut $r_{n+1}$ , vilket man egentligen var ute efter.

Anonym_15 skrev:
Går det också att lösa med hjälp av induktion?

Njae... ser inte hur induktion skulle funka. Induktionssteget i detta fall skulle innebära att man ville visa följande:

Om man redan vet att $r_{k+1} = r_k + 1$ gäller för något specifikt värde på $k$ , så kan man dra slutsatsen att $r_{k+2} = r_{k+1}+1$ också gäller för det värdet på $k$ .

Ett sådant påstående är inte sant om man inte dessutom förutsätter att $r_{n+1}^2 - r_{n+1} = (r_n)^2 + r_n$ gäller för $n={k+1}$ . (Denna förutsättning är visserligen uppfylld, men då behövs inte induktionsantagandet.)