Symmetrisk matris

Hos symmetriska matriser är egenvektorer som tillhör olika egenvärden vinkelräta mot varandra.

Tack vare matrisens symmetri är alltså garanterat $\mathbf{v}_1 \perp \mathbf{v}_2$ och $\mathbf{v}_1 \perp \mathbf{v}_3$.

Man kan också säga att egenrummet till $\lambda_1=4$ är vinkelrätt mot egenrummet till $\lambda_2=\lambda_3 = 1$.

LuMa07 skrev:

Hos symmetriska matriser är egenvektorer som tillhör olika egenvärden vinkelräta mot varandra.

 

Tack vare matrisens symmetri är alltså garanterat $\mathbf{v}_1 \perp \mathbf{v}_2$ och $\mathbf{v}_1 \perp \mathbf{v}_3$.

 

Man kan också säga att egenrummet till $\lambda_1=4$ är vinkelrätt mot egenrummet till $\lambda_2=\lambda_3 = 1$.

Att v₁, v₂, v₃ är vinkelräta om A är  symmetrisk hajar jag men det jag liksom inte fattar är att facit använder gram schimds metod för att ta fram v₃ genom att ta fram en vektor som är vinkelrät mot v₂... men det garanterar väl inte att v₃ är vinkelrät mot v₁, bara att v₃ är vinkelrät mot v₂? 

M.h.a. Gram-Schmidt skapar man en ny vektor i egenrummet till $\lambda=1$. Hela detta egenrum är vinkelrätt mot $\mathbf{v}_1$, d.v.s. varje vektor i detta egenrum är vinkelrät mot $\mathbf{v}_1$. Därmed är även den nyskapade vektorn vinkelrät mot $\mathbf{v}_1$.

LuMa07 skrev:

M.h.a. Gram-Schmidt skapar man en ny vektor i egenrummet till $\lambda=1$. Hela detta egenrum är vinkelrätt mot $\mathbf{v}_1$, d.v.s. varje vektor i detta egenrum är vinkelrät mot $\mathbf{v}_1$. Därmed är även den nyskapade vektorn vinkelrät mot $\mathbf{v}_1$.

Tack!