Ta fram det betingade väntevärdet

Hej, jag skulle uppskatta hjälp med nedanstående problem då jag inte riktigt får till det:

Jag vet att det betingade väntevärdet ges av $E[X|Y=y]=\int x f_{x|y}(x,y) dx$ samt att den betingade täthetsfunktionen ges av $f_{x|y}(x|y)=\frac{ f_{x,y}(x,y)}{f_y(y)}$.

Om vi börjar med att ta fram E[X|Y=y] så har vi först och främst att $f_{x,y}=6x$ då $c=6$ (det har jag räknat ut innan). Sen måste vi (1) ta fram $f_y(y)$ som är $\int 6x dx$ men här undrar jag vilka gränser jag ska sätta på integralen?

Sen måste vi (2) ta fram den betingade täthetsfunktionen enligt ovan men då måste jag först ha $fy(y)$ och till sist (3) tar vi fram det betingade väntevärdet enligt ovan men även här är jag osäker på vilka intervallgränser som man ska använda sig utav?

Min fråga är nu om denna lösning är korrekt? Om ja, hur tar jag fram intervallgränserna för steg 1 respektive 3?