talteori

Hej

jag har en uppgift som jag inte helt förstår hur man ska lösa och behöver lite hjälp.

Uppgiften är:

För ett positivt heltal n, visa att $\sum _{d|n}\frac{{\mu }^2\left(d\right)}{\phi \left(d\right)}=\frac{n}{\phi \left(n\right)}$

Jag började med att sätta $n=p^k$ och får för det högra ledet $\frac{n}{\phi \left(n\right)}=\frac{p^k}{\phi \left(p^k\right)}=\frac{p^k}{p^k\left(1-{\displaystyle \frac{1}{p}}\right)}=\frac{p}{p-1}$

Jag är däremot inte så säker på hur man ska göra med $\frac{{\mu }^2\left(d\right)}{\phi \left(d\right)}$ 

Som en börjar sätter jag i alla fall $\sum _{d|n}\frac{{\mu }^2\left(p^k\right)}{\phi \left(p^k\right)}=\frac{{\mu }^2\left(1\right)}{\phi \left(1\right)}+\frac{{\mu }^2\left(p\right)}{\phi \left(p\right)}+...+\frac{{\mu }^2\left(p^k\right)}{\phi \left(p^k\right)}$

men för att det ska stämma ska alltså detta summeras till $\frac{p}{p-1}$

Vi har att $\begin{array}{c}1 om n=1\\ 0 om p^2|n\\ {\left(-1\right)}^r om n=p_1{p}_2...p_r\end{array}$ där p är primtal.

Den första termen $\frac{{\mu }^2\left(1\right)}{\phi \left(1\right)}=1$ om jag förstår det rätt, men sedan vet jag inte hur man ska göra.