Talteori: 4 är det enda sammansatta talet som vid primtalsfaktorsummering ger sig själv?
Det är för att ab=a^b endast uppfylles av a=b=2?
Edit: a=b=1 inte tillåtet
Min teori är att du har rätt, åtminstone i de fall då antalet primtalsfaktorer är precis två, men inte för att ab=a^b endast uppfylles av a=b=2, utan för att:
Talet p kan primtalsfaktoriseras som . Primtalsfaktorsummeringen ger då summan . Lite algebramagi ger då:
HL är endast ett heltal om b = 0 eller 2, och noll utesluts eftersom noll inte är ett primtal.
Däremot för tal med fler än två primtalsfaktorer... Den tänker jag klura lite på!
Jojojo exakt! Men en invändning: likheten a*b=a^b gäller inte bara av de som har två distinkta primtalsfaktorer utan även de som samma faktor flera gånger. Det täcker "några" fler sammansatta tal haha.
På Smutstvätts spår men lite generaliserat. Vi kan se på problemet på följande vis:
Funktionen i fråga är i praktiken en slags pseudologaritm i meningen att den följer samma typ av algebraiska regler som logaritmer varav vi kan använda resonemangsmönster som är allmänt tillämpliga på dessa typer av (heltals)funktioner
Om g(n) är är vårt primtalsfaktorsummafunktion så gäller det likt ln(ab) = ln(a) + ln(b) att
g(ab) = g(a) + g(b)
Låt oss göra ett motsägelsebevis genom att anta att det fanns ett komposittal n = ab sådant att g(ab) = ab, dvs att
ab = g(a) + g(b)
Vi vet dock redan att oavsett vad a och b är så måste det gälla att g(a) ≤ a och g(b) ≤ b vilket förhoppningsvis är rimligt men som man också kan ta och bevisa. Så det måste gälla att
ab ≤ a + b (*)
där a,b är två tal. När kan detta ske? Om du testar att plugga in olika heltal så verkar det aldrig stämma (förutom om a,b ≤ 2 ). 2*3 ≥ 2 + 3, och 5*5 ≥ 5 + 5, och 7*2 ≥ 7 + 2 osv. Det är till synes omöjligt.
Låt oss visa att det verkligen är omöjligt. Ta två heltal tal a, b där a är det mindre eller identiska talet (a ≤ b) och a är större än 2 (2 < a).
a + b ≤ b + b < 2b < ab
Detta strider mot (*) så den olikheten kan inte stämma vilket skapar en kedja av orimlighet upp längsmed resonemangskedjan tills man landar i att g(n) = n när n är ett komposittal är omöjligt så slutsatsen är
g(n) = n om och endast om n är ett primtal.
