Tangent, korda och y = x^3 - sök triangelns yta

Jag ser inte omedelbart hur man ska komma vidare på din väg även om det säkert går!

När jag provräknade gick jag vägen att beräkna triangelns area genom bh/2 med basen längs x-axeln. Då får man ett uttryck för hur triangelns area beror av tangeringspunktens x-koordinat. Sedan kan man använda villkoret att den ska vara likbent för att lösa.

Tyvärr, SvanteR. Fullständig kortslutning. Kan du gå ett (eller ett par) steg till? T ex hur uttrycket för hur triangelns area beror av tangeringspunktens x-koordinat ser ut. Och - är min användning av tanV1 för att få fram basens längd utefter x-axeln, korrekt?

Om jag ser rätt i dina anteckningar har du redan beräknat att arean kan skrivas $\frac{x^4}{3}$ (där x är tangeringspunktens x-koordinat). Du verkar också redan ha beräknat att $x_{CD}=\frac{x}{3}$. Då kan du lätt beräkna att avståndet från origo till punkten C blir $\frac{2x}{3}$

Likbentheten ger att avståndet från C till B ska vara lika med avståndet från origo till C. Använd avståndsformeln för att ställa upp en ekvation, och beräkna $x^4$ med hjälp av den.

Om jag använder avståndsformeln (med Pythagoras sats) på triangeln CBD får jag den stående kateten dvs höjden till x/roten ur 3. Sätter jag in detta i formeln för ytan b x h/2 får jag x^2 = 1/roten ur 3. Jag fortsätter med att sätta in det i det ANDRA uttrycket för triangelytan och får x^4/3 = 1/9.
Korrekt?

Jag är inte helt säker på att jag kan följa ditt resonemang men det verkar rätt och är rätt svar!

Blir det fel om jag ber dig avslöja ditt resonemang? Jag känner det som att jag är inne i en rundgång som jag inte kommer ur.

OK. Jag kallar tangeringspunktens x-koordinat för t. (Jag gillar inte att kalla den x för det blir så lätt att man blandar ihop variabeln x med den specifika koordinaten om man gör det.)

Då har tangeringspunkten koordinaterna $(t,t^3)$

Tangenten har riktningskoefficienten $3t^2$

Jag beräknar tangentens ekvation

$$\begin{gathered} y=kx+m \\ {t}^3=3t^2*t+m \\ m=-2t^3 \end{gathered}$$

Tangentens ekvation blir alltså:

$y=3t^{2}x-2t^3$

Skärningspunkten med x-axeln ges av:

$0=3t^{2}x-2t^3$

Som har lösningen $x=\frac{2t}{3}$ 

Man kan då beräkna arean:

$A=\frac{bh}{2}=\frac{{\displaystyle \frac{2t}{3}}*t^3}{2}=\frac{t^4}{3}$

Villkoret om likbenthet ger:

$$\begin{gathered} \frac{2t}{3}=\sqrt{(\frac{t}{3}{)}^2+(t^3{)}^2} \\ \frac{{\displaystyle 4t^2}}{{\displaystyle 9}}=(\frac{{\displaystyle t}}{{\displaystyle 3}}{)}^2+(t^3{)}^2=\frac{t^2}{9}+t^6 \\ {t}^4=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

PS. Jag har dividerat med t hejvilt på olika ställen och för att göra det måste man motivera att t ≠ 0, men det kan man göra i början genom att säga att om t = 0 blir det ingen triangel, så man bortser från det.

Det här får jag tugga på en stund. Du ska ha tack för hjälpen. Jag räknar med att det ska klarna. Får koppla bort en stund.
Jag kan nu bara tillägga att jag är tacksam för en uppvisning av vacker logik och metodik. Efter en dag av brötande med det här har mina hjärnvindlingar klibbat ihop nästan totalt. Men - jag kan följa ditt resonemang och se att jag på något vinglande omvägar också tog mig fram till rätt svar. Dock utan någon känsla av säkerhet. Men nu fattar jag. Och att t måste vara skilt från 0 kan jag leva med utan protester.