Tangenter

Jag rekommenderar att man använder google för att kolla hur såna kurvor ser ut (om du inte orkar sitta och plita ner en tabell med värden.

Man ser att vi verkar ha två skärningspunkter som är ungefär -1 och 1. Vi kan kolla det genom att ställa upp

$$\begin{gathered} x-x^2=x-1 \\ {x}^2=1 \\ x=\pm 1 \end{gathered}$$

och för dessa är värdet på funktionerna

$$\begin{gathered} -1-1 = -2 \\ 1 - 1 = 0 \end{gathered}$$

Parabelns derivata är $\frac{d}{dx}\left(x-x^2\right) = 1-2x$ som har värdet 3 för x=-1 och -1 för x=1. Man kan då skriva tangenterna som

$$\begin{gathered} 3(x-(-1\left)\right) = 3x+3 \\ -1(x-1) = -x+1 \end{gathered}$$

dessa tangenter korsar varandra i när $3x+3=-x+1 \Rightarrow x=-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$.

Skärningspunkten borde alltså vara (-1/2,3/2) om jag inte räknat fel, vilket jag ofta gör, så du måste kolla att det är rätt. Det känns dock åtminstone nära rätt om man kollar grafen.

PeBo skrev :

Parabelns derivata är $\frac{d}{dx}\left(x-x^2\right) = 1-2x$ som har värdet 3 för x=-1 och -1 för x=1. Man kan då skriva tangenterna som

$$\begin{gathered} 3(x-(-1\left)\right) = 3x+3 \\ -1(x-1) = -x+1 \end{gathered}$$

dessa tangenter korsar varandra i när $3x+3=-x+1 \Rightarrow x=-\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$.

Skärningspunkten borde alltså vara (-1/2,3/2) om jag inte räknat fel, vilket jag ofta gör, så du måste kolla att det är rätt. Det känns dock åtminstone nära rätt om man kollar grafen.

Det där blev naturligtvis fel, vilket man ser om man ritar upp kurvorna.

Alltså, tangenterna får bli $\left(\frac{{\displaystyle d}}{{\displaystyle dx}}(x-x^2)\right)\times \left(x-x_0\right)+(x_0-{x_0}^2)$ om man tänker efter, vilket kommer ut som

$$\begin{gathered} 3x+1 \\ -x+1 \end{gathered}$$

vilket istället hamnar på x=0, y=1

Man kan även kolla hur det ser ut: