Tangentlinjens ekvation

Tangentlinjens k-värde = derivatans värde i tangeringspunkten.

SvanteR skrev :

Tangentlinjens k-värde = derivatans värde i tangeringspunkten.

Hmm cos(pi/4) = 1/√2 ?

Rätt svar enligt facit är y = -4(x -pi/4)

Du har glömt inre derivatan och glömt att multiplicera x med 4.

Ta ett steg i taget.

Steg 1: Om y(x) = sin(4x), vad är då derivatan y'(x)?

Steg 2: Vad är då y'(pi/4)?

Förstår hur man tar fram lutningen men varför blir svaret y = -4(x-pi/4)? Varför är det (x-pi/4)? 

En tangentlinje är ju på formen $y=kx+m$ där $k$ har samma värde som funktionens derivata i tangeringspunkten. I detta fall blir:

$y'(x)=4\cos(4x)$

$k=y'(\dfrac{\pi}{4})=4\cos(\dfrac{4\pi}{4})=4\cos\left(\pi\right)=4\left(-1\right)=-4$

Linjen är alltså på formen $y=-4x+m$. Eftersom vi vill att tangenten även ska skära punkten $(\frac{\pi}{4},0)$ (tangeringspunkten) kan vi sätta in $x=\frac{\pi}{4}$ och $y=0$ och lösa ut för $m$:

$0=-4\cdot\dfrac{\pi}{4}+m$

$0=-\pi+m$

$m=\pi$

Således blir tangenten $y=-4x+\pi$. Detta är ekvivalent med $y=-4(x-\pi/4)$.

hegh skrev:

Förstår hur man tar fram lutningen men varför blir svaret y = -4(x-pi/4)? Varför är det (x-pi/4)? 

Om du har beräknat lutningen k så gäller att tangentens ekvation kan skrivas $y=kx+m$

Här är lutningen $k=y'(\frac{\pi}{4})$ och du kan få fram $m$ genom att i tangentens ekvation sätta in $k$-värdet samt koordinaterna för en känd punkt $P$ som ligger på tangenten.

Välj lämpligen tangeringspunkten som $P$.

Den har ju koordinaterna $(\frac{\pi}{4},y(\frac{\pi}{4}))$.

• Vad har du fått fram för värde på $k$?
• Vad har tangeringspunkten för koordinater?

Hm.. hade aldrig kunnat komma fram till att y = -4x + pi, är ekvivalent med y = -4(x-pi/4).

Däremot såg jag nu att tangentlinjens formel är y - f(a) = f'(a)(x-a). Kanske har de använt sig av den då svaret också rimmar med det: y - 0 = 4(x-pi/4)

Edit: Tänkte fel trots att det stod så tydligt, såg inte att du brutit ut 4 haha. Naturligtvis har du rätt. Tar till mig det, tack!!