Täthetsfunktion för s.v eta

Finns inte allt du behöver i lösningsförslaget?

Trinity2 skrev:

Finns inte allt du behöver i lösningsförslaget?

Jo men vill ändå ge mig ett försök på b) innan jag glor på lösningen. Ska testa o se om AI har någon ide eller ledtråd så man kan försöka något.

Finns det inte någon slags faltningssats när det gäller summan av oberoende stokastiska variabler?

PATENTERAMERA skrev:

Finns det inte någon slags faltningssats när det gäller summan av oberoende stokastiska variabler?

Denna är det nedan.

Ja.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Men frågan är vad f_X(x) och f_y(z-x) är i vårt problem? Jag kan tänka mig att f_X(x) är resultatet från a) men vi behöver hitta f_Y isåfall. Hur ska man hitta gränserna?

X och Y är ju lika-fördelade. Då gäller det samma för X² och Y².

PATENTERAMERA skrev:

X och Y är ju lika-fördelade. Då gäller det samma för X² och Y².

Vad menar du? Hur vet man att X ochY är lika fördelade?

ChatGPT väljer en annan väg och får Exp(1/2). Om det är rätt metod vet jag inte.

Trinity2 skrev:

ChatGPT väljer en annan väg och får Exp(1/2). Om det är rätt metod vet jag inte.

Asså det stämmer ju för s.v för X att den får exp(1/2). 

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

X och Y är ju lika-fördelade. Då gäller det samma för X² och Y².

Vad menar du? Hur vet man att X ochY är lika fördelade?

Därför att det står på första raden i problemtexten. De är båda N(0, 1).

X är väl N(0,1)?

Trinity2 skrev:

X är väl N(0,1)?

Aa 

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

X och Y är ju lika-fördelade. Då gäller det samma för X² och Y².

Vad menar du? Hur vet man att X ochY är lika fördelade?

Därför att det står på första raden i problemtexten. De är båda N(0, 1).

Aa jo, då har båda samma täthetsfunktion dvs f_X²(x)=1/sqrt(2pix)e^-x/2

f_Y²(y)=1/sqrt(2piy)e^-y/2

Ja, så blir det nog. Resten är övning i integralkalkyl. Se ledningen.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, så blir det nog. Resten är övning i integralkalkyl. Se ledningen.

Jag är osäker över om gränserna här är rätt? Ska man göra variabelsubstitution och byta eta mot X^2+Y^2?

Tänk på att täthetsfunktionerna är noll då argumentet är negativt. Så integrationsgränserna kan tas från 0 till $\epsilon$.

PATENTERAMERA skrev:

Tänk på att täthetsfunktionerna är noll då argumentet är negativt. Så integrationsgäränserna kan tas från 0 till $\epsilon$.

Jag känner inte att jag förstår vad du menar. Du får gärna förtydliga. täthetsfunktionerna f_X²(x) samt f_Y²(y) är definierad för x>=0 respektive y>=0 och de är 0 annars ja om det är vad du menar? Det sista du skrev förstår jag inte.

$f_{X^2}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{e^{-t/2}}{\sqrt{2\mathrm{\pi t}}}, t>0\\ 0, t⩽0\end{array}\right.$

Så integranden är nollskild endast då x >= 0 och epsilon - x >= 0. Dvs då x ligger mellan 0 och epsilon.

PATENTERAMERA skrev:

$f_{X^2}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{e^{-t/2}}{\sqrt{2\mathrm{\pi t}}}, t\ge 0\\ 0, t<0\end{array}\right.$

Så integranden är nollskild endast då x >= 0 och epsilon - x >= 0. Dvs då x ligger mellan 0 och epsilon.

Jag förstår inte riktigt var epsilon kommer ifrån och ditt resonemang med gränserna. Jag förstår inte hur integranden är nollskild för x<0 då det är 0??

Du hade väl epsilon i din integral.

PATENTERAMERA skrev:

Du hade väl epsilon i din integral.

Ja men den är i nämnaren samt i exponenten för e. Vi vet att x>=0 och då menar du att £-x>=0 så £>=x så x<=£<=0?

Ja, men tänk på att du integrerar map x.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, men tänk på att du integrerar map x.

Ja se #23. Då har vi gränserna från 0 till epsilon?

Om vi ska integrera map på x så vet jag inte om vi ska behandla epsilon som konstant och hur man kommer på en lämplig substitution?

Du har en ledning i problemtexten. Det gäller att forma om integralen så att du får samma integral som i ledningen.

Tips: Försök att hitta lämpligt variabelbyte.

PATENTERAMERA skrev:

Du har en ledning i problemtexten. Det gäller att forma om integralen så att du får samma integral som i ledningen.

Tips: Försök att hitta lämpligt variabelbyte.

Jag vet inte riktigt hur jag ska följa ledningen. Det är där jag fastnade. Jag valde u=x men då har jag bara integral från 0 till u där vi får 1/sqrt(u(£-u)) du. AI föreslog istället en annan substitution istället, nämligen denna nedan:

Ja, den verkar vettig.