17 svar
151 visningar
dajamanté är nöjd med hjälpen!
dajamanté 4703
Postad: 12 jun 2018

Taylorserien: oförskämt fråga

Godmorgon!

Jag har prov på fredag som jag tog frivilligt och jag hinner inte gå igenom hela kurs material.

Det återstår bland annat Taylorserier. Jag lovar att jag ska lära mig analys på en normal sätt i universitet i höst, men just nu vill jag inte klantra mig totalt på provdagen. 

Kan någon förklara pedagogisk för mig hur man bygger Taylorserier, och när måste man dra upp den här kortet?

Vad jag har förstått är att man väljer en start värde för f(x)=0f(x)=0 och att varje ny element i polynomet kommer att modelera beteendet av funktionen igenom att tänka på första derivata, andra derivata, tredje derivata osv. Man måste också tänka att ''kompensera ner'' potenser när dem trillar ner från xx:or.

Jag har testat bygga sinus och cosinus funktioner, det är jättehäftigt att det fungerar!

 

Jag vet att det är dumt och oförskämt att fråga om teori när man inte hinner läsa boken, men å andra sidan har jag lärt mig i stort sett allt matte på PA och klarade mycket galant alla prov... Så om någon har i sitt hjärta viljan att förklara tsoo Taylorseries, jag antecknar ivrigt! 

AlvinB Online 648
Postad: 12 jun 2018

Personligen tycker jag 3blue1browns video om Taylorserier är bra:

https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4

Språkpolisen informerar: Eftersom det heter en fråga, heter det en oförskämd fråga. Språkpolisen undviker att ge ett oförskämt svar.

dajamanté 4703
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018

Tackar tackar!

Kan ni ge mig exempel på funktioner som inte är sinsin, coscos eller ee? (underförstått, typisk tal som kommer på prov?) 

EDIT: och specifikt när måste man ta ut soppkorgen som heter OO?

Tackar språkpolisen som alltid för ett mycket uppskattad insats. 

Smutstvätt 4468 – Moderator
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018

En intressant funktion att approximera är tan(x) runt x = 0. Om denna typ av funktion kommer på ett prov vet jag inte, men det är intressant i alla fall.

foriginal(x)=tanx, -π2<x<π2

Vi bygger på: (jämna (andra, fjärde, sjätte gradens, osv.) derivator av tan(0) är lika med noll, jag har utelämnat dem)

Konstanttermen blir: f0(x)=0
[Derivatan av tan(0) = 1]
Sedan med en förstagradsterm: f1(x)=x
Tredjederivatan av samma funktion är 2.
Med tredjegradsterm: f3(x)=x+2x33!
Femtederivatan av samma funktion är 16.

Med femtegradsterm: f5(x)=x+2x33!+16x55!

Sjundederivatan av samma funktion är 272.

Med sjundegradsterm: f7(x)=x+2x33!+16x55!+272x77!

Med niondegradsterm: f9(x)=x+2x33!+16x55!+272x77!+7936x99!

Och då har vi en mycket bra approximation av tan(x) då -1x1. Beroende på hur mycket fel man kan tänka sig kan man även gå något längre.

dajamanté 4703
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018

Mycket vackert ljusfiber Smutstvätt!

Om jag får långa din approximation, och om det kommer nu på prov (PS: hur hittar du 5e derivata för tan(x)=16?)

 

MEN NU PROVKÖR VI TILL PROV med en lånade funktion:

 

Om jag får en funktion typ:

whateverwhatevertanxxdx att integrera, får jag använda mig av:

ftanxx=1+2x23!+16x45!+272x67! osv....

I vilket grad kan jag ta ut OO-sopkorgen?

Jag hittade det eftersom WA gav mig resultatet 16. Nu har du slarvat, Daja!
 Du har bett om femtederivatan av tan(0). tan(0) är ett tal, inte en funktion. Femtederivatan av alla tal är noll. 


Hur många deriveringar du måste ha med lämnar jag till experterna, men min icke-kvalificerade gissning är att du behöver några stycken i alla fall. 

dajamanté 4703
Postad: 12 jun 2018

Som amateur matematiker föreslår jag att skapa en konstant:  Dj, uttalas ''daja'', kallade modest efter mig själv.

Detta konstant skulle kunna användas efter vilket matematisk svar som helst i formen Svar: y=(x36+CX+D)e-x+ Dj, och skulle täcka vilket slarvfel som helst. Den viktigaste för att konstant skulle gälla är att det står ''svar'' framför uttrycket.

 

 

Så nu är det bara att vänta att riktiga matematiker är fria från skolor/jobbet.... !

Guggle 1139
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018

Hej Daja,

Vilka termer du kan kasta i papperskorgen beror helt på hur noggranna beräkningar du behöver göra. Din Taylorutveckling blir  i regel sämre ju längre från utvecklingspunkten  du befinner dig.

Att utveckla en funktion runt x=0 och sedan använda approximationen för väldigt stora x är i regel en dålig idé.

Ofta räcker det att ta med några få termer, särskilt om du använder utvecklingen väldigt nära punkten du utvecklat kring. Vill du veta exakt hur noggrann din approximation är måste du göra en feluppskattning.

Det gör du genom att studera hur stor resttermen maximalt kan vara.

Resttermen i en Taylorutveckling runt punkten x0x_0 ges av

Rn+1(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x-x0)(n+1)R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}

Som som du ser skalar felet med (x-x0)(n+1)(x-x_0)^{(n+1)}. Längden (x-x0)(x-x_0 ) är bara ett mått på avståndet till utvecklingspunkten .  Ju närmare vi befinner oss och ju högre nn desto mindre fel (under förutsättning att inte derivatorna av högre ordning hittar på något hyss).

Taylors formel brukar mest användas i en utveckling kring x0=0x_0=0 och kallas då Maclaurinutveckling

Några Maclaurinutvecklingar man helst bör kunna utantill utöver ex,sin(x),cos(x)e^x, \sin(x), \cos(x)

ln(1+x)=x-x22+x33-x44+O(x5)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\mathcal{O}(x^5) x>-1x>-1 obv

(1+x)p=1+px+p2x2+O(x3)(1+x)^p=1+px+\binom{p}{2}x^2+\mathcal{O}(x^3)

arctan(x)=x-x33+x55+O(x7)\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\mathcal{O}(x^7)

arcsin(x)=x+x36+O(x5)\arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+\mathcal{O}(x^5) |x|<1|x|<>

dajamanté 4703
Postad: 12 jun 2018
Guggle skrev:

Hej Daja,

Vilka termer du kan kasta i papperskorgen beror helt på hur noggranna beräkningar du behöver göra. Din Taylorutveckling blir  i regel sämre ju längre från utvecklingspunkten  du befinner dig.

Att utveckla en funktion runt x=0 och sedan använda approximationen för väldigt stora x är i regel en dålig idé.

Ok, så varje gång jag ser 01, -10 typ, är det Maclaurinutvecklingen som gäller...

Ofta räcker det att ta med några få termer, särskilt om du använder utvecklingen väldigt nära punkten du utvecklat kring. Vill du veta exakt hur noggrann din approximation är måste du göra en feluppskattning.

Det gör du genom att studera hur stor resttermen maximalt kan vara.

Resttermen i en Taylorutveckling runt punkten x0x_0 ges av

Rn+1(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x-x0)(n+1)R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}

Som som du ser skalar felet med (x-x0)(n+1)(x-x_0)^{(n+1)}. Längden (x-x0)(x-x_0 ) är bara ett mått på avståndet till utvecklingspunkten .  Ju närmare vi befinner oss och ju högre nn desto mindre fel (under förutsättning att inte derivatorna av högre ordning hittar på något hyss).

Kan du snälla ge ett exempel, jag kan bara tänka mig av polynomer.

Taylors formel brukar mest användas i en utveckling kring x0=0x_0=0 och kallas då Maclaurinutveckling

Några Maclaurinutvecklingar man helst bör kunna utantill utöver ex,sin(x),cos(x)e^x, \sin(x), \cos(x)

ln(1+x)=x-x22+x33-x44+O(x5)\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\mathcal{O}(x^5) x>-1x>-1 obv

(1+x)p=1+px+p2x2+O(x3)(1+x)^p=1+px+\binom{p}{2}x^2+\mathcal{O}(x^3)

arctan(x)=x-x33+x55+O(x7)\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\mathcal{O}(x^7)

arcsin(x)=x+x36+O(x5)\arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+\mathcal{O}(x^5) |x|<>|x|<>

 Jag ska se om tatueraren har tid...

tarkovsky123_2 169
Postad: 12 jun 2018

När det gäller att kunna komma ihåg några utav de vanligaste maclaurinutvecklingarna som skrivits ovan så brukar jag göra på följande sätt.

Kom ihåg att den geometriska serien har följande utseende: k=0tk = 11-tvilken konvergerar för x(-1,1).

Om vi låter x(-1,1) så är det ok att derivera samt integrera termvis. (varför detta gäller behöver vi inte gå in på om du inte läst om detta ännu).

 

Välj t = -x så att 11+x = k=0-1kxk ln(1+x) =  k=0-1kxkdx = k=0-1kxkdx = =k=0-1kxk+1k+1.

På samma sätt kan du härleda taylorserien för arctan(x) osv.

 

Motivationen till varför detta är ok är straight forward.

 

Detta kanske är till någon hjälp.

dajamanté 4703
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018
tarkovsky123_2 skrev:

När det gäller att kunna komma ihåg några utav de vanligaste maclaurinutvecklingarna som skrivits ovan så brukar jag göra på följande sätt.

Kom ihåg att den geometriska serien har följande utseende: k=0tk = 11-tvilken konvergerar för x(-1,1).

Om vi låter x(-1,1) så är det ok att derivera samt integrera termvis. (varför detta gäller behöver vi inte gå in på om du inte läst om detta ännu).

 

Välj t = -x så att 11+x = k=0-1kxk ln(1+x) =  k=0-1kxkdx = k=0-1kxkdx = =k=0-1kxk+1k+1.

På samma sätt kan du härleda taylorserien för arctan(x) osv.

 

Motivationen till varför detta är ok är straight forward.

 

Detta kanske är till någon hjälp.

 Det hjälper mycket och jag nästan förstår. Men jag kan definitivt inte applicera den för arctan...

Kan du snälla ge en enkelt exempel?

tomast80 1563
Postad: 12 jun 2018

Så här får du fram utvecklingen för arctan \arctan :

11-t=1+t+t2+... \frac{1}{1-t} = 1+t+t^2 + ...

Sätt t=-x2 t= -x^2 \Rightarrow

11+x2=1-x2+x6-... \frac{1}{1+x^2} = 1-x^2+x^6 - ...

Vad från du om du nu integrerar VL och HL?

tarkovsky123_2 169
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018

Med samma notation som jag använde ovan så kan vi sätta t = -y2. Då är 11+y2=k=0-1ky2k. Integrera båda led och få arctan(x) =0x11+y2dy =0xk=0-1ky2kdy =k=0-1kx2k+12k+1.

tomast80 1563
Postad: 12 jun 2018
tarkovsky123_2 skrev:

Med samma notation som jag använde ovan så kan vi sätta t = -y2. Då är 11+y2=k=0-1ky2k. Integrera båda led och få arctan(x) =0x11+y2dy =0xk=0-1ky2kdy =k=0-1kx2k+12k+1.

 Snyggt, men du måste väl säkerställa också att konstanttermen verkligen är lika med noll? T.ex. om du skulle härleda utvecklingen för cosx \cos x genom att integrera -sinx -\sin x så måste konstanttermen beaktas. 

tarkovsky123_2 169
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018

Ett annat sätt att enkelt härleda utvecklingen för både cosθ och sinθ:

 

Vi vet att et=k=0tkk!. Välj speciellt t=θi vilket ger eθi :=k=0ikθkk! =1+θi -θ22!-iθ33!+θ44! + iθ55!+-.... . Omordna sedan seriens termer (detta är ok att göra eftersom serien vi betraktar är absolutkonvergent) så att eθi=1-θ22!+θ44!+-... + iθ-θ33!+θ55!+-... och använd sedan att eθi :=cosθ + isinθ vilket direkt ger dig utvecklingarna för både cos och sin.

tarkovsky123_2 169
Postad: 12 jun 2018 Redigerad: 12 jun 2018
tomast80 skrev:
tarkovsky123_2 skrev:

Med samma notation som jag använde ovan så kan vi sätta t = -y2. Då är 11+y2=k=0-1ky2k. Integrera båda led och få arctan(x) =0x11+y2dy =0xk=0-1ky2kdy =k=0-1kx2k+12k+1.

 Snyggt, men du måste väl säkerställa också att konstanttermen verkligen är lika med noll? T.ex. om du skulle härleda utvecklingen för cosx \cos x genom att integrera -sinx -\sin x så måste konstanttermen beaktas. 

 Well, det är ju egentligen inga konstigheter. Vi vet att Cx11+t2dt=arctanx -arctanC och vi vet enligt analysens huvudsats att arctanx = Cx11+t2dt vilket direkt ger att arctanC = 0 => C=0.

dajamanté 4703
Postad: 13 jun 2018 Redigerad: 13 jun 2018
tomast80 skrev:

Så här får du fram utvecklingen för arctan \arctan :

11-t=1+t+t2+... \frac{1}{1-t} = 1+t+t^2 + ...

Sätt t=-x2 t= -x^2 \Rightarrow

11+x2=1-x2+x6-... \frac{1}{1+x^2} = 1-x^2+x^6 - ...

Vad från du om du nu integrerar VL och HL?

 Okay, på VL får jag arctan och på HL den här följd du menade. Tack!

 

Tack också för alla svar: komplexiteten i denna tråd har övertygat mig att sitta mig med maclaurin under sista dagen!

Svara Avbryt
Close