Taylorutveckling

Taylorutveckla $e^{-t^2}$ först och integrera sedan det.

Okej, jag tänker såhär: 

Taylorserien av e^x till grad 1 blir 1+x, men då x=-t² så blir taylorutvecklingen 1-x²

$$\begin{gathered} \underset{x->0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}1-x²}{x} \\ {\int }_0^{x}1-x² = \left[x-\frac{x³}{3}\right] = x-\frac{x³}{3}-0 = x-\frac{x³}{3} \\ \underset{x->0}{\lim }\frac{x-{\displaystyle \frac{x³}{3}}}{x}=\frac{3x-x³}{3x}=\frac{3-x²}{3}= 1 \end{gathered}$$

Det blir rätt svar, men är lösningen korrekt? Jag har sett att man ibland också inkluderar O notationen för feltermen vilket jag inte har gjort då frågan inte efterfrågar det, får man ändå rätt när man exkluderar den?

Förmodligen är det bäst att göra det, men jag vet inte precis hur man skriver.

Hej,

Notera att $f\left(0\right)=0$, varför du kan skriva gränsvärdet $L$ som $\displaystyle L=\lim_{x\to 0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=f'\left(0\right)$.