Taylorutveckling - Calculus

Man tänker så här. Om vi kallar den primitiva funktionen till $\frac{sin(x)}{x}$ för $F(x)$ så blir ju integralen:

${\int }_{-1}^1\frac{\sin \left(x\right)}{x} dx=F\left(1\right)-F(-1)$

Det är alltså $F(x)$ som vi behöver hitta en Taylorutveckling för. Vi vet ju egentligen inte så mycket om denna primitiva funktion (eftersom den inte går att uttrycka med hjälp av gamla vanliga funktioner) mer än att den är den primitiva funktionen till $\frac{sin(x)}{x}$.

Vad man här kan inse är att om vi först tar fram en Taylorutveckling för $\frac{sin(x)}{x}$, vilket är relativt enkelt, kan man sedan integrera Taylorutvecklingen för att få en Taylorutveckling av den primitiva funktionen, $F(x)$. Eftersom en Taylorutveckling bara är ett polynom går det ju att integrera den på vanligt vis.

Tack för svar Alvin, jag är dock fortfarande inte så klar i vad för värde jag ska ska taylorutvecklingen runt. 
Tex dvs vad jag ska sätta a till i f(a) + f'(a)*(a-x) ... osv. Eller menar du att jag först sätter a = 1 sedan räknar ut femte ordningens taylorutveckling och gör samma sak för a = -1 och tar den första minus den andra och sedan integrerar resultatet av subtrationen? 

Taylor expansionen av sinx/x är väll (1-((x^2)/6)+((x^4)/120)-((x^6)/5040)+((x^8)/40320)) 

kan man inte bara ta dennas primitiva funktion och F(1)-F(-1)

Kallaskull skrev:

Taylor expansionen av sinx/x är väll (1-((x^2)/6)+((x^4)/120)-((x^6)/5040)+((x^8)/40320)) 

kan man inte bara ta dennas primitiva funktion och F(1)-F(-1)

 Är inte detta mclaurinutvecklingen?

minst4 skrev:

Kallaskull skrev:

Taylor expansionen av sinx/x är väll (1-((x^2)/6)+((x^4)/120)-((x^6)/5040)+((x^8)/40320)) 

kan man inte bara ta dennas primitiva funktion och F(1)-F(-1)

 Är inte detta mclaurinutvecklingen?

 Jo, men Maclaurinutveckling är ju en typ av taylorutveckling (och den enklaste, så det finns egentligen ingen anledning att använda något annat i detta fall).

Låt mig förklara hur jag menar med ett enklare exempel. Låt oss ta följande integral (och låtsas om att vi inte vet den primitiva funktionen till $e^x$):

$\displaystyle \int_{0}^{1}\ e^{x}\ dx$ $=F\left(1\right)-F\left(0\right)$

För att nu ta fram en taylorserie för den "okända" primitiva funktionen kan vi börja med utvecklingen av $e^{x}$:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...$

och sedan integrera term för term för att få fram den primitiva funktionen:

$F\left(x\right)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+...$

Sedan sätter vi in värdena vi behövde för att beräkna integralen:

$$\begin{gathered} F\left(1\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...\approx 1.7182 \\ F\left(0\right)=0+\frac{0}{2}+\frac{0}{6}+\frac{0}{24}+\frac{0}{120}+...=0 \end{gathered}$$

Nu vet vi värdena för den primitiva funktionen som vi behöver för att beräkna integralen:

$\displaystyle \int_{0}^{1}\ e^{x}\ dx$ $=F\left(1\right)-F\left(0\right)\approx 1.7182-0=1.7182$

AlvinB skrev:

minst4 skrev:

Visa föregående citat

Kallaskull skrev:

Taylor expansionen av sinx/x är väll (1-((x^2)/6)+((x^4)/120)-((x^6)/5040)+((x^8)/40320)) 

kan man inte bara ta dennas primitiva funktion och F(1)-F(-1)

 Är inte detta mclaurinutvecklingen?

 Jo, men Maclaurinutveckling är ju en typ av taylorutveckling (och den enklaste, så det finns egentligen ingen anledning att använda något annat i detta fall).

Låt mig förklara hur jag menar med ett enklare exempel. Låt oss ta följande integral (och låtsas om att vi inte vet den primitiva funktionen till $e^x$):

${\int }_0^1{e}^x dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)$

För att nu ta fram en taylorserie för den "okända" primitiva funktionen kan vi börja med utvecklingen av $e^{x}$:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...$

och sedan integrera term för term för att få fram den primitiva funktionen:

$F\left(x\right)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+...$

Sedan sätter vi in värdena vi behövde för att beräkna integralen:

$$\begin{gathered} F\left(1\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...\approx 1.7182 \\ F\left(0\right)=0+\frac{0}{2}+\frac{0}{6}+\frac{0}{24}+\frac{0}{120}+...=0 \end{gathered}$$

Nu vet vi värdena för den primitiva funktionen som vi behöver för att beräkna integralen:

${\int }_0^1{e}^x dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)\approx 1.7182-0=1.7182$

 Så man kan bara använda ett godtyckligt värde, i detta fall 0 om inget annat anges? 

Resten av det du förklarade förstår jag nu men jag missade först att kallaskull skrev att sin0/0 = 1, det stämmer ju inte så jag kan väl inte räkna med delat på 0?

Hej!

jo det är en mclaurin expansion men jag har för mig att Bland annat sinx Taylor funktion funkar för alla x. Men även ifall detta inte skulle vara fallet är integralen mellan (-1) och (1) så mclaurin expansionen skulle vara en bra approximation 

sin(x)/x är odefinierad då x = 0, men integralens värde påverkas inte av värdet i en enstaka punkt.

Det är inte helt självklart att man ska utveckla kring x = 0. Funktionen är jämn, så man kan lika gärna integrera från 0 till 1 och dubbla resultatet. För den omskrivningen verkar det mer "rättvist" att taylorutveckla kring mitten av intervallet, så x = 1/2. Prova gärna och se om det blir någon skillnad!

minst4 skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

minst4 skrev:

Kallaskull skrev:

Taylor expansionen av sinx/x är väll (1-((x^2)/6)+((x^4)/120)-((x^6)/5040)+((x^8)/40320)) 

kan man inte bara ta dennas primitiva funktion och F(1)-F(-1)

 Är inte detta mclaurinutvecklingen?

 Jo, men Maclaurinutveckling är ju en typ av taylorutveckling (och den enklaste, så det finns egentligen ingen anledning att använda något annat i detta fall).

Låt mig förklara hur jag menar med ett enklare exempel. Låt oss ta följande integral (och låtsas om att vi inte vet den primitiva funktionen till $e^x$):

${\int }_0^1{e}^x dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)$

För att nu ta fram en taylorserie för den "okända" primitiva funktionen kan vi börja med utvecklingen av $e^{x}$:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...$

och sedan integrera term för term för att få fram den primitiva funktionen:

$F\left(x\right)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+...$

Sedan sätter vi in värdena vi behövde för att beräkna integralen:

$$\begin{gathered} F\left(1\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...\approx 1.7182 \\ F\left(0\right)=0+\frac{0}{2}+\frac{0}{6}+\frac{0}{24}+\frac{0}{120}+...=0 \end{gathered}$$

Nu vet vi värdena för den primitiva funktionen som vi behöver för att beräkna integralen:

${\int }_0^1{e}^x dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)\approx 1.7182-0=1.7182$

 Så man kan bara använda ett godtyckligt värde, i detta fall 0 om inget annat anges? 

Resten av det du förklarade förstår jag nu men jag missade först att kallaskull skrev att sin0/0 = 1, det stämmer ju inte så jag kan väl inte räkna med delat på 0?

Nej det var inte det jag menade. Mclaurin serien kommer bli mindre exakt desto större värden från 0 man väljer, (-1) och (1) är nära noll så den borde ge ett bra ungefär värde. Kalla sinx serie för f(x) jag menar att du F(1)-F(-1) då förekommer väll ingen sin0/0. 

Ja, diskontinuiteten i $x=0$ är ju ett litet problem. Det kanske är lättare att bara utveckla kring ett annat värde (du får ju välja vilket värde som helst, så länge konvergensradierna stämmer).

Man kan faktiskt ändå skapa en Taylorserie kring $x=0$, trots att funktionen inte är definierad i $x=0$. Det går nämligen att bara ta Maclaurinutvecklingen för $sin(x)$ och dividera alla termer med $x$ (effekten blir att man minskar alla exponenter på $x$ med $1$).

Nu är det ju även så att diskontinuiteten skapar problem för själva integralen då diskontinuiteten ligger i integrationsintervallet. Eftersom diskontinuiteten bara är ett s.k. "hål" i grafen (den går inte mot oändligheten) kan man egentligen strunta i den, men jag skulle nog göra som Dr G säger och integrera från $0$ till $1$ och sedan dubbla.

AlvinB skrev:

Ja, diskontinuiteten i $x=0$ är ju ett litet problem. Det kanske är lättare att bara utveckla kring ett annat värde (du får ju välja vilket värde som helst, så länge konvergensradierna stämmer).

Man kan faktiskt ändå skapa en Taylorserie kring $x=0$, trots att funktionen inte är definierad i $x=0$. Det går nämligen att bara ta Maclaurinutvecklingen för $sin(x)$ och dividera alla termer med $x$ (effekten blir att man minskar alla exponenter på $x$ med $1$).

Nu är det ju även så att diskontinuiteten skapar problem för själva integralen då diskontinuiteten ligger i integrationsintervallet. Eftersom diskontinuiteten bara är ett s.k. "hål" i grafen (den går inte mot oändligheten) kan man egentligen strunta i den, men jag skulle nog göra som Dr G säger och integrera från $0$ till $1$ och sedan dubbla.

Du har rätt Dr Gs metod är nog bättre. Frågan kanske är orelevant men är inte sinx mclaurin och Taylor konvergenta av d'Alemberts kriterium?

Kallaskull skrev:

AlvinB skrev:

Ja, diskontinuiteten i $x=0$ är ju ett litet problem. Det kanske är lättare att bara utveckla kring ett annat värde (du får ju välja vilket värde som helst, så länge konvergensradierna stämmer).

Man kan faktiskt ändå skapa en Taylorserie kring $x=0$, trots att funktionen inte är definierad i $x=0$. Det går nämligen att bara ta Maclaurinutvecklingen för $sin(x)$ och dividera alla termer med $x$ (effekten blir att man minskar alla exponenter på $x$ med $1$).

Nu är det ju även så att diskontinuiteten skapar problem för själva integralen då diskontinuiteten ligger i integrationsintervallet. Eftersom diskontinuiteten bara är ett s.k. "hål" i grafen (den går inte mot oändligheten) kan man egentligen strunta i den, men jag skulle nog göra som Dr G säger och integrera från $0$ till $1$ och sedan dubbla.

Du har rätt Dr Gs metod är nog bättre. Frågan kanske är orelevant men är inte sinx mclaurin och Taylor konvergenta av d'Alemberts kriterium?

 Jo, Maclaurinserien för $sin(x)$ är ju alltid konvergent, konvergensradien är alltså oändlig. Vad jag menade var att om man hade en funktion som inte hade en serie med oändlig konvergensradie skulle valet av utvecklingspunkt spela roll.

AlvinB skrev:

Kallaskull skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Ja, diskontinuiteten i $x=0$ är ju ett litet problem. Det kanske är lättare att bara utveckla kring ett annat värde (du får ju välja vilket värde som helst, så länge konvergensradierna stämmer).

Man kan faktiskt ändå skapa en Taylorserie kring $x=0$, trots att funktionen inte är definierad i $x=0$. Det går nämligen att bara ta Maclaurinutvecklingen för $sin(x)$ och dividera alla termer med $x$ (effekten blir att man minskar alla exponenter på $x$ med $1$).

Nu är det ju även så att diskontinuiteten skapar problem för själva integralen då diskontinuiteten ligger i integrationsintervallet. Eftersom diskontinuiteten bara är ett s.k. "hål" i grafen (den går inte mot oändligheten) kan man egentligen strunta i den, men jag skulle nog göra som Dr G säger och integrera från $0$ till $1$ och sedan dubbla.

Du har rätt Dr Gs metod är nog bättre. Frågan kanske är orelevant men är inte sinx mclaurin och Taylor konvergenta av d'Alemberts kriterium?

 Jo, Maclaurinserien för $sin(x)$ är ju alltid konvergent, konvergensradien är alltså oändlig. Vad jag menade var att om man hade en funktion som inte hade en serie med oändlig konvergensradie skulle valet av utvecklingspunkt spela roll.

Okej, tack så mycket för svaret!

Tack allihopa, jag förstår nu hur man gör!