Teckentabell

Använd teckentabellen och ett par väl valda x-värden som du sätter in i funktionen. Eller är det teckentabellen som du inte förstår?

Nej, det är inte derivatan som är 0 om x = 2 eller x = 6, det är själva funktionen som har värdet y = 0. 

Vad är derivatan av f(x) = x²-8x+12? För vilket x-värde har derivatan värdet 0?

Derivatan av funktionen f(x)=x^2 -8x+12 blir 

f’(x)=2x-8

vi vill beräkna f’(x)=0 

0=2X-8

8=2x 

x=4  . Alltså då x=4 är derivatan noll. Men den ursprungliga  funktionen är inte x^2 -8x+12 utan den är 

(x^3)/3 *(6-x)(6-x)=f(x)

OK då missförstod jag.

Vet fortfarande inte hur jag ska skissa grafen

Stämmer det att $v(x)=\frac{x^3}{3}(6-x)(6-x)=12x^3-4x^4+\frac{x^5}{3}$? I så fall är inte din derivata rätt.

Du kan lätt hitta tre nollställen till f(x) = (x³/3)(6-x)². (Det finns två komplexa nollställen också, men dem bryr vi oss inte om).

Vilken är derivatan av f(x)? Det är enklast att använda uttrycket på nedersta raden i din senaste inlägg.

Derivatan blir 

(5/3) * x^4 -16x^3 + 36x^2 = f’(x) 

0= 5/3 * x^4 -16x^3 +36x^2 (ger x värdena då  derivatan är 0). 

x1= 0

x2=2,91288

x3=9,887 

Hur gör jag sen?

Teckentabell.

Jag har börjat med att skriva teckentabellen det blir däremot helt fel 

Katarina149 skrev:

Derivatan blir 

(5/3) * x^4 -16x^3 + 36x^2 = f’(x) 

0= 5/3 * x^4 -16x^3 +36x^2 (ger x värdena då  derivatan är 0). 

x1= 0

x2=2,91288

x3=9,887 

Hur gör jag sen?

Du kan och bör alltid alltid kontrollera dina uträkningar innan du går vidare.

I det här fallet har du löst en ekvation.

Har du kontrollerat att dessa x-värden verkligen är nollställen till derivatan, dvs att de är lösningar till ekvationen V'(x) = 0?

• Om ja, vad fick du för resultat?
• Om nej, gör det och berätta vad du får för resultat.

 Nu har jag kontrollerat mina uträkningar. Det var fel svar. Dvs derivatans nollställen skulle ha varit 

x1=3,6

x2=0

x3=6

Vi testar med att sätta in derivatans nollställen in i ursprungsekvationen för att hitta y värden.

(x^3)/3 * (6-x)(6-x)=V(x) 

när x=0 då är y=0

när x=6 då är y=0 

när x=3.6 y=89,57952 

Här nedan är min teckentabell. Hur kan jag göra sen? 

Ja nu är derivatans nollställen och teckentabellen rätt, men jag saknar ett x-värde som är större än 6 i tabellen, dvs hur ser derivatan ut till höger om x = 6?

Fortsätt sedan med att markera de kända funktionsvärdena (dvs funktionens nollställen och funktionsvärdena vid derivatans nollställen) i ett koordinatsystem och använd information från tabellen för att skissa grafen.

Nu har jag fixat det! Hur gör jag sen?

Det skrev jag i mitt senaste svar.

Det blir helt fel 

Du har inte följt instruktionerna.

Börja med att markera de kända punkterna i koorditatsystemet.

Du känner till värdet V(0), V(3,6) och V(6).

Markera dessa.

Derivatan till vänster om x = 0 är positiv, så grafen till V(x) har där en positiv lutning. Det gäller hela vägen fram till x = 0, där derivatan har värdet 0. Här ska du nå den vänstraste inprickade punkten.

Om du sedan fortsätter åt höger så är derivatan positiv igen, vilket betyder att grafen till V(x) har en positiv lutning, ända fram till x = 3,6, där derivatan har värdet 0. Här ska du nå V(3,6).

Fortsätt så.

Jag får det till att bli ngt sånt 

Bra!

Den ser principiellt rätt ut, jämför bilden.

Det som skulle kunna förbättras är att du sätter ut koordinater vid kända punkter, att det tydligt framgår att grafen har en terrasspunkt i origo och att grafen inte "böjer sig bakåt" mellan x = 3,6 och x = 6.

Ska jag sätta in fler x värden mellan x=0 och -1? Så att det tydligt framgår att det finns en terasspunlt? Eller? Vad är koordinaterna för terasspunkten?

Nej du behöver bara med hjälp av grafen tydligt visa att lutningen är 0 vid terrasspunkten.

Du vet terrasspunktens x-koordinat och kan då enkelt beräkna dess y-koordinat.

”Du vet terasspunktens x koordinat” 

Nej hur vet jag terasspunktens x koordinat?

Det kan du utläsa ur din teckentabell.

Minpunkt: - 0 +

Maxpunkt: + 0 -

Terrasspunkt: - 0 - eller + 0 +

Läs mer om vad en terrasspunkt är här. 

Jag har läst om vad en terasspunkt är men jag har inte riktigt förstått vad det egentligen är. Utifrån min teckentabell kan jag se att mellan x=-1 och x=1 så finns en terasspunkt som går igenom origo . Terasspunkten fortsätter stiga ifrån origo med positiva lutning uppåt (positiv derivata)

Drt finns två sortets terrasspunkter.

Gemensamt för dem båda är att derivatan i själva terrasspunkten är lika med 0 och att derivatan innan och efter terrasspunkten har samma tecken.

De röda prickarna visar terrasspunkter.

Hur hittar man punkterna för terasspunkten? 

Från din teckentabell.

Titta på raden som visar derivatans tecken.

Ser du sekvensen - 0 - eller + 0 + någonstans?

Alternativt titta på raden under, den som visar pilarna.

Ser du sekvensen "ner", "horisontell", "ner" eller "upp", "horisontell", "upp" någonstans?

Ska det alltid vara ner, horisontell och därefter antingen upp eller ner? 

Isåfall finns en terasspunkt mellan x=4 och x=8 

Nej det ska antingen vara

• Ner, horisontell, ner. Det motsvarar sekvensen - 0 -.

eller

• Upp, horisontell, upp. Det motsvarar sekvensen + 0 +.

========

• Ner, horisontell, upp (- 0 +) indikerar istället en minpunkt.
• Upp,  horisontell, ner (+ 0 -) indikerar istället en maxpunkt.

Katarina149 skrev:

Jag får det till att bli ngt sånt 

Vart skulle min terasspunkt vara? Är det inte mellan x=-1 och x=1 eller? Hur vet man den exakta punkten för terasspunkten?

Ja, terrasspunkten ligger mellan -1 och 1.

I en terrasspunkt är derivatan lika med 0.

Det finns bara ett ställe mellan -1 och 1 där derivatan är lika med 0.

Yngve skrev:

Ja, terrasspunkten ligger mellan -1 och 1.

I en terrasspunkt är derivatan lika med 0.

Det finns bara ett ställe mellan -1 och 1 där derivatan är lika med 0.

Hur hittar man koordinaterna till terasspunkten?

Var det något i mitt senaste svar som du inte förstod?

Jag förstår fortfarande inte hur jag hittar terasspunkten . Säger man att terasspunkten ligger mellan x=-1 och x=1? Varför ska det vara just i mellan x=-1 och x=1? 

Nej, det är bara i x = 0 det är en terrasspunkt, det är bara där som derivatan är 0 (om vi bara tittar mellan -1 och 1, det finns ju andra nollställen för derivatan utanför detta intervall).

Har en terasspunkt alltid x kordinaten 0?

Nej, men i en terrasspunkt är derivatan alltid 0.

Är du med på vad en terrasspunkt är?

Ja, jag är med på vad en terasspunkt är. Det är där derivatan  är 0 och då är det antingen ”upp” ”horisontellt” ”upp” eller ”ner” ”horisontellt” ”ner” . En terasspunkt har alltså inget exakt värde på x? Utan en terasspunkt kan ligga mellan vissa x värden 

Jo, en terrasspunkt har ett bestämt värde på x, på samma sätt som en lokal minpunkt eller en lokal maxpunkt har ett bestämt värde på x.

För att kunna särskilja en terrasspunkt från en lokal minpunkt/maxpunkt så tittar vi på derivatans tecken runt denna punkt, dvs i punktens omgivning.

• Om derivatans tecken följer sekvensen - 0 + så är det en lokal minpunkt.
• Om derivatans tecken följer sekvensen + 0 - så är det en lokal maxpunkt.
• Om derivatans tecken följer sekvensen "+ 0 +" eller - 0 -" så är det en terrasspunkt.

=======

Vi kan alltså beskriva en lokal minpunkt som "den punkt där derivatan har värdet 0 och där derivatans tecken i punktens omgivning har följden - 0 +".

Men tycker du då även att en lokal minpunkt inte har något exakt värde på x?

======

Vi kan även beskriva en lokal maxpunkt som "den punkt där derivatan har värdet 0 och där derivatans tecken i punktens omgivning har följden + 0 -".

Men tycker du då även att en lokal maxpunkt inte har något exakt värde på x?

=======

För en terrasspunkt är det exakt samma sak, den kan beskrivas som "den punkt där derivatan har värdet 0 och där derivatans tecken i punktens omgivning antingen har följden - 0 - eller + 0 +".

=========

Terrasspunkter, lokala minpunkter och lokala maxpunkter har alltså väldigt liknande egenskaper, de är tre olika varianter på något som kallas stationära punkter, dvs punkter där funktionens derivata har värdet 0.

”Men tycker du då även att en lokal minpunkt inte har något exakt värde på x?”

Jo man kan ju titta på grafen och se vart den lokala minpunkten / maxpunkten är. På samma sätt borde man kunna hitta lokal terasspunkt . Vet dock inte hur man gör/fattar fortfarande inte hur man ska göra för att hitta terasspunkten :(( . Kan du kanske förklara med hjälp av att ge konkreta exempel på hur man hittar en terasspunkt?

Du kan inte titta på grafen innan du har ritat den. Och du kan inte rita den innan du vet var minpunkten/maxpunkten är.

Berätta hur du kommer fram till var maxpunkten och minpunkten till V(x) är.

Katarina149 skrev:

Jag får det till att bli ngt sånt 

Maxpunkten är då x=3.6. Minpunkten är då x=6

Den här kurvan har ingen terrasspunkt.

Hur ska jag istället göra för att framhäva terasspunkten?

Vilken derivata har kurvan i terrasspunkten?

Derivatan är 0 , vart ska det vara horisontellt

Du svarade inte på min fråga.

Hur kom fram till var maxpunkten (och minpunkten) till V(x) är?

Inte via grafen, eller hur?

Jag deriverade funktionen . Satte derivatan lika med 0, löste ut x och därefter använde jag mig av en teckentabell för att se om det är en Max eller min punkt

Bra.

Och då kom du fram till ett exakt x-värde för dessa min- och maxpunkter, eller hur?

Men hur kände du igen att x = 3,6 gav just en maxpunkt och att x = 6 gav just en minpunkt?

För jag använde mig av ett tecken tabell

Ja. Och på samma sätt kan du undersöka om en stationär punkt (dvs en punkt där derivatan är lika med 0) är en terrasspunkt:

alltså då x=2 i din sista teckentabell är det en terasspunkt.. Jag känner inte att min skiss av grafen är helt korrekt. Som smaragdalena skrev finns ju ingen terasspunkt i min ritade graf

Ja

• I teckentabell 1 är det en maxpunkt vid x = 2
• I teckentabell 2 är det en minpunkt vid x = 2
• I teckentabell 3 och 4 är det en terrasspunkt vid x = 2.

Det är viktigt att du ser och förstår det.

Det är viktigt att du lär dig att känna igen och tolka de olika mönstren runt de stationära punkterna. Det finns endast fyra sådana mönster

Förstår du nu vad jag menade när jag skrev detta svar?

Jag är med nu på vad du menar. Nu tror jag att det börjar smälta. Om man beräknar derivatans nollställen för funktionen då kommer man att få fram maximi,minimi eller terasspunkter för där är derivatan 0. Med hjälp av en tecken tabell kan man sedan konstatera huruvida de beräknade x värden är en maximi,minimi eller en terasspunkt. 

——-

Jag behöver ha hjälp med att skissa en graf. Kan du istället förklara stegvist hur jag ska göra för att kunna skissa grafen? Det blev ju inte en så bra skiss. Vi gör ett nytt försök!

Du har funktionen V(x) = (x³/3)(6-x)² = (x⁵/3)-4x⁴+12x³. Det första skrivsättet visar att x = 0 är en rot, och att x = 6 är en dubbelrot. Det andra skrivsättet visar att kurvan i stort sett lutar så här: /

Derivatan är

så derivata har en dubbelrot för x = 0 och rötterna x = 3,6 och x = 6. Vi vet ju redan att f(0) = f(6) = 0 så det enda funktionsvärde vi behöver beräkna är f(3,6) = 279936/3125 (= 89,57952). Pricka in dessa 3 punkter i ett koordinatsystem och rita en mjuk linje som passerar genom allihop.

Om man vill göra en teckentabell skall man ha x-värdena -1 (t ex), 0, 2 (t ex), 3,6,   5 (t ex), 6 och 10 (t ex).

Jag har gjort ett nytt försök . Är det rätt?

I stort sett korrekt. WolframAlpha  ritar det så här:

Skulle jag ha fått rätt på ett prov om jag hade ritat som jag gjort? Om inte så vill jag gärna veta varför?

Nej, det syns inte att det är en terrasspunkt i din bild. Kurvan ser ut att ha positiv lutning även när x = 0.

Hur skulle jag istället göra för att rita den korrekt? Vill förstå hur jag ska gå tillväga för att kunna självmant utan hjälp av digitala verktyg kunna skissa grafen

Rita ett litet vågrätt streck i punkten (0,0) innan du ritar resten av kurvan.

Katarina149 skrev:

Hur skulle jag istället göra för att rita den korrekt? Vill förstå hur jag ska gå tillväga för att kunna självmant utan hjälp av digitala verktyg kunna skissa grafen

I närheten av origo ser din graf ut som den röda kurvan, dvs det ser ut som om den har positiv lutning i hela det området.

Men den ska inte se ut så. Den där ska se ut som den blåa kurvan. Grafen ska vara horisontell (ha lutning 0) vid origo.

Är det bättre nu? 

Ja mycket bättre.

Men det ser fortfarande ut som att grafen har en positiv lutning i origo.

Om du vill finputsa så kan du ännu tydligare visa att grafen har lutningen 0 just i origo.

Förslag:

Kanske så här 

Ja nu är det ännu bättre.

Då saknar jag bara en gradering av x-axeln, dvs x-koordinater för max-och minpunkterna.

Eller ännu hellre koordinater för dessa punkter.

Bra.

Allt är rätt utom koordinaterna för maxpunkten.

De ska vara (ungefär) (3,6; 89,6)

Oj det var ett slarvfel. Tackar!