Terminologi kring stokastiska variabler

Hej! Nu när jag har förvirrat mig klart kring varför man använder namnet "variabel" när man avser en funktion, så har jag fortfarande lite problem med terminologin.

Min bok beskriver det kort och gott: "den stokastiska variabeln definierar en funktion från utfallsrummet till de reella talen."

Jag har uppgiften:

Till en busshållplats anländer bussar var 10:e minut. Antag att tiden bussen står still vid hållplatsen är försumbar. En man som inte har någon tidtabell anländer till hållplatsen. Hans väntetid kan anses vara en stokastisk variabel $X$ .

a) Vilka värden kan $X$ anta?

Min förvirring har med notation att göra. Min tolkning: Eftersom stokastiska variabeln är väntetiden, så förstår jag de värden som stokastiska variabeln antar, d.v.s. det som returneras av funktionen som $X$ definierar, är väntetiden. Alltså, värdemängden till den stokastiska variabeln är väntetiden.

Men när man löser uppgiften i lösningsförslaget används beteckningen $\Omega$ , något som ger en hint om att det är definitionsmängden vi har att göra med:

Skulle någon kunna hjälpa mig med min förvirring? Jag hoppas det är tydligt vad jag menar.

En slumpvariabel är en funktion $X:\Omega\to E$ från ett utfallsrum $\Omega$ till någon mätbar mängd $E$ , oftast är $E=\mathbb{R}$ (speciellt i en första kurs sannolikhetsteori).

Utfallsrummet är alltså definitionsmängden för $X$ .

Det är inte så konstigt att du är förvirrad, för de värden en funktion kan anta låter absolut som värdemängden.

Det uppgiften är ute efter är de möjliga utfallen av "experimentet", eller situationen, i uppgiften. Dessa kan med fördel kan anges med notationen $\Omega_X$ .

Man brukar ofta inte vara så formell med de olika begreppen i en introduktion till sannolikhetsteori, och jag misstänker att man här betraktar slumpvariabeln

$X:[0, 10)\to [0,10)$

given av $X(t) = t$ .

Alternativt att man inte tänker på $X$ som en funktion utan bara betraktar $X$ som utfallsrummet.

Till exempel kan man ju tänka på kast med sexsidig tärning som en variabel som antar värdena $\{1,2,3,4,5,6\}$ .

Utfallsrummet kan ses som samma mängd. Formellt kan vi då tänka oss identitetsfunktionen.

Singlar man ett mynt kanske vi väljer att beskriva utfallsrummet som $\{H, T\}$ (heads, tails) medan värdemängden kan vara något annat, t.ex. $\{-1,1\}$ eller $\{0,1\}$ . Här blir det desto konstigare att fråga efter vilka värden slumpvariabeln kan anta, om man menar $H$ eller $T$ .

Att fråga efter vilka värden $X$ kan anta och mena utfallsrummet tycker jag definitivt är en oklar formulering.

Jag är inte säker men skulle säga så här:

Problemet är att utfallsrum och värdemängd här är förvirrande lika.

I fallet med slantsingling blir det tydligare. Heads och Tails är ju inte reella tal, så där kan man tänka sig att man tillordnar Heads värdet 0 och Tails värdet 1. Sedan kan man beräkna t ex väntevärdet (som är 0,5). Det är svårare att ange ett väntevärde för paret {H,T}.

Väntetiden i uppgiften är en fysikalisk storhet. 0 till 10 min, 0 till 600 sek, 0 till 1/6 timmar. När vi valt enhet får vi ett enhetslöst tal, t ex [0, 10). Så jag skulle säga att funktionen avbildar 300 sekunder på 5 utan enhet.

Nu kom jag på ett exempel som kanske är tydligare.

Vi kastar två tärningar.. Vi noterar summan.

Den stokastiska variabeln har definitionsmängd {(1, 1), (1, 2), (1, 3), …, (6, 6)}; totalt 36 utfall (eller 21 om vi bortser från ordningen). Värdemängden har 11 värden {2, 3, 4, …12}.

I vanligt tal menar vi väl nästan alltid värdemängden när vi talar om en stokastisk variabel.

Svara

Visa senaste svar