12 svar

122 visningar

jonasJ är nöjd med hjälpen

Termodynamikuppgift - Provfråga 6. Järnkula med kokhet temperatur på isblock

Nyligen hade jag ett prov på termodynamik. Det var sista frågan på provet då jag skulle ge en formel till djupet som en järnkula, med en känd radie, densitet, värmekapacitet och temperaturen av kokande vatten (100 grader Celsius, 373 kelvin) , skulle komma ner vid efter att den placeras på ett isblock med känd densitet, smältentalpitet och en tempratur av noll grader/273 kelvin.

För att lösa denna uppgift använde jag mig av arean för en cirkel samt volymen till sfär som kulan antas vara. Sen antogs det att ett hål skulle lämnas i form av en cylinder. Jag provade då att sätta upp en formel för mottagen och avgiven värme och då lyckades bryta ut h även om det inte skulle konstatera helheten av djupet H. Vattnet som smälts antog jag inte skulle ta bort energi då ifall energi skulle gå bort så skulle det vara till att gräva kulan djupare, vattnet skulle alltså inte behövas tas i åtanke i formlerna.

Eftersom jag bara bröt ut h i lösningen som jag lämnade in så är var det fel. Jag hade inte tagit med radien plus h som ett utryck för hela djupet H.

Här är min nya lösning för formeln av djupet.

$Q_{M o t t a g e n} = l_{I s} m_{I s}$

Sen sätter jag in volymen istället för densiteten. Jag lägger till bara en halva av volymen för en sfär eftersom andra halvan räknas ut genom formeln för en cylinders volym med h som höjd.

$Q_{M o t t a g e n} = l_{I s} ρ_{I s} \frac{4}{6} π r^{3} + l_{I s} ρ_{I s} h π r^{2}$

$Q_{A v g i v e n} = c_{F e} m_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e})$

Samma för järnkulan och dess volym.

$Q_{A v g i v e n} = c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} \cdot (T_{o}^{F e} - T^{F e})$

Allmän formel för överföring av värme utan förluster till omgivningen.

$Q_{M o t t a g e n} = Q_{A v g i v e n}$

Jag bryter ut h för att inte behöva jobba med okända variabler.

$H = h + r$

$l_{I s} ρ_{I s} \frac{4}{6} π r^{3} + l_{I s} ρ_{I s} h π r^{2} = c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} \cdot (T_{o}^{F e} - T^{F e}) l_{I s} ρ_{I s} \frac{4}{6} π r^{3} + l_{I s} ρ_{I s} h π r^{2} = c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} \cdot (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \frac{l_{I s} ρ_{I s} 4 r}{6} + l_{I s} ρ_{I s} h = c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} \cdot (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \frac{l_{I s} ρ_{I s} (4 r + 6 h)}{6} = c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} \cdot (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \frac{l_{I s} ρ_{I s} (4 r + 4 h + 2 h)}{6} = c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} \cdot (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \frac{l_{I s} ρ_{I s} (4 H + 2 h)}{6} = c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} \cdot (T_{o}^{F e} - T^{F e}) l_{I s} ρ_{I s} [4 H + 2 (\frac{\frac{4}{6} r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{l_{I s} ρ_{I s}})] = 8 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) 4 H + 2 (\frac{\frac{4}{6} r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{l_{I s} ρ_{I s}}) = \frac{8 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e})}{l_{I s} ρ_{I s}} 4 H = \frac{8 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e})}{l_{I s} ρ_{I s}} - 2 (\frac{\frac{4}{6} r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{l_{I s} ρ_{I s}}) 4 H = \frac{8 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e})}{l_{I s} ρ_{I s}} - \frac{\frac{8}{6} r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{l_{I s} ρ_{I s}} H = \frac{8 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - \frac{8}{6} r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{4 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} H = \frac{\frac{48 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - 8 r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{6}}{4 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} H = \frac{48 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - 8 r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{24 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} H = \frac{48 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - 16 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) r - l_{I s} ρ_{I s} 8 r}{24 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} H = \frac{16 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \cdot (3 - r) - l_{I s} ρ_{I s} 8 r}{24 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} H = \frac{16 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \cdot (3 - r)}{24 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} - \frac{l_{I s} ρ_{I s} 8 r}{24 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} H = \frac{2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \cdot (3 - r)}{3 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} - \frac{r}{3}$

$H = \frac{2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \cdot (3 - r)}{3 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} - \frac{r}{3}$

Borde vara den slutgiltiga formeln som man ska kunna sätta in i vilken situation där tidigare nämnda förutsättningar finns. Men jag kan inte verifiera ifall detta är algebraiskt korrekt då jag inte har min miniräknare med mig. Förutom det kommer jag inte kunna besvara något nu när jag lägger ut den och jag får då återvända imorgon för att se på någon respons. Något som jag känner en stark känsla av osäkerhet är med mitt resonemang av att H = h + r och hur jag försökte få fram det i formeln och därefter bryta ut H.

Det ser jobbigt ut. Man behöver inte skriva så mycket. Använd att ${\rm \Delta} T$ av järnet är 100 kelvin.

Sedan får man väl först kolla om kulan kan smälta tillräckligt mycket is för att halva järnkulan ska komma ner i isen.

Och jag fattar inte vad du gör efter att du har bestämt h. Det borde väl räcka med H = h + r då?

jonasJ skrev:
Nyligen hade jag ett prov på termodynamik.

Onödigt svår och i praktiken ganska komplicerad uppgift för att vara gymnasiet. Givet är att det är okej med idealiserade antaganden men det smälta vattnet kommer påverka smältdjupet ganska mycket, tror jag.

Jag bryter ut h för att inte behöva jobba med okända variabler.

$H = h + r$

Som Pieter säger borde du helt enkelt bara addera $r$ , då får man:

$H=\dfrac{4}{6}r \dfrac{2c_{Fe}\rho_{Fe}\Delta T-l_{Is}\rho_{Is}}{l_{Is}\rho_{is}} +r$

$H =r \left[\dfrac{4}{6} \dfrac{2c_{Fe}\rho_{Fe}\Delta T-l_{Is}\rho_{Is}}{l_{Is}\rho_{is}} +1\right]$

$H = \frac{2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) \cdot (3 - r)}{3 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} - \frac{r}{3}$

Borde vara den slutgiltiga formeln som man ska kunna sätta in i vilken situation där tidigare nämnda förutsättningar finns.

Detta är fel därför att du har ett enhetslöst tal (3) minus en längd (r$$). Du har gjort något algebraiskt knas.

SaintVenant skrev:
jonasJ skrev:
Nyligen hade jag ett prov på termodynamik.

Onödigt svår och i praktiken ganska komplicerad uppgift för att vara gymnasiet.

[...]

Du har gjort något algebraiskt knas.

Jag har sett värre. Så svår är den här inte. Den kräver egentligen ingen algebra alls. Det första som man bör göra är en numerisk jämförelse av järnets värmekapacitet per volym och vattnets smältvärme per volym.

Eller så är det allra första: visualisera för sitt inre öga en järnkula som man tar från kokande vatten och lägger på ett isblock. Och försöka tänka på vad som är rimligt och vad man behöver veta för att förutspå vad som kommer att hända. Till exempel: beror det på radien eller inte?

Jag förstår mycket av vad ni säger och hade en liknande kritisk vy över flera delar i mitt resonemang. Det jag var mest kritisk mot var min formel i slutet och dess härledning. Den enda anledningen var att jag kände att jag var inne på något när jag skrev om 4h + 4r = 4H. Jag förstod tidigare idag att den inte vara möjlig rent algebraiskt som ni tog upp.

Jag kan dela med en snabb uträkning av djupet baserad på den numeriska jämförelse Pieter föreslog.

Värden som jag kommer använda

$c_{F e} = 450, l_{I s} = 334 \cdot 10^{3}, ρ_{I s} = 917, ρ_{F e} = 7870$

Först för den nedre halvan av järnkulan;

$c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} \cdot ∆ T = l_{I s} ρ_{I s} \frac{2}{3} π r^{3} 450 \cdot 7870 \cdot \frac{4}{3} π \cdot {(2 \cdot 10^{- 2})}^{3} \cdot 100 = 334 \cdot 10^{3} \cdot 917 \cdot \frac{2}{3} \cdot π {(2 \cdot 10^{- 2})}^{3} 11867, 68 = 5131, 737$

Järnkulan smälter definitivt en halv sfär av is innan den stannar. Dvs. att den fortsätter in i isen enligt formeln för en cylinder. Jag tar värmen från tidigare som Q Avgiven - Före, mot formeln nämnd tidigare och bryter ut h.

$Q_{A v g .}^{F ö r e} = l_{I s} ρ_{I s} h π r^{2} h = \frac{Q_{A v g .}^{F ö r e}}{l_{I s} ρ_{I s} π r^{2}} = \frac{11867, 68 - 5131, 737}{334 \cdot 10^{3} \cdot 917 \cdot π {(2 \cdot 10^{- 2})}^{2}} = 0, 017 [m]$

Jag tror att man kan då förenkla formeln till en ekvation på det här viset

$h = \frac{Q_{A v g .}^{F ö r e}}{l_{I s} ρ_{I s} π r^{2}} h = \frac{c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} \cdot ∆ T - l_{I s} ρ_{I s} \frac{2}{3} π r^{3}}{l_{I s} ρ_{I s} π r^{2}} h = \frac{c_{F e} ρ_{F e} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} \cdot ∆ T - l_{I s} ρ_{I s} \frac{2}{3} π r^{3}}{l_{I s} ρ_{I s} π r^{2}} h = \frac{2 r \cdot (2 c_{F e} ρ_{F e} ∆ T - l_{I s} ρ_{I s})}{3 \cdot l_{I s} ρ_{I s}}$

Vilket går tillbaka till min ursprungliga formel. Och nu när jag reflekterar efteråt förstår jag varför ni valde att addera r då man redan har bekräftat att längden r har smälts av järnkulan.

$H = r [\frac{2 (2 c_{F e} ρ_{F e} ∆ T - l_{I s} ρ_{I s})}{3 \cdot l_{I s} ρ_{I s}} + 1]$

Tack, jag förstod inte erat resonemang om varför man skulle addera r. Men nu förstår jag att man hade redan tagit hänsyn till den tidigare i formeln.

Men varför kan man inte bara bryta ut r och h till H tidigare så att man inte behövde göra ett externt resonemang?

jonasJ skrev:
Värden som jag kommer använda

$c_{F e} = 450, l_{I s} = 334 \cdot 10^{3}, ρ_{I s} = 917, ρ_{F e} = 7870$

Detta är inte matematik. Det är fysik, och då behövs det enheter.

Jag föredrar enheter som har intuitiva värden, till exempel densitet i g/cm³ eller kg/liter.

Järnets volymvärmekapacitet blir då $7,\!87 \ {\rm g}/{\rm cm}^3 \times 0,\!450 \ {\rm J}/ {\rm (g \cdot K)} = 3,\!54 \ {\rm J} \ {\rm cm}^{-3} {\rm K}^{-1}.$ En tabell ger $3,\!537 \ {\rm J}\ {\rm cm}^{-3} {\rm K}^{-1}$ alltså 353,7 J/cm³ för temperaturskillnaden på 100 grader här.

Det är bara lite mer än smältvärmet av en kubikcentimeter is.

Så om järnet hade varit t ex 20 grader hade kulan inte sjunkit ner till hälften, men jag håller med att 100 grader räcker.

Jag förstår absolut inte hur du kan få ett bestämt värde för h. Det hela är proportionell mot kulans radie.

Efter att den sjunkit ner till hälften är det bara att räkna ut hur mycket värme det finns kvar för att smälta en cylinder.

Ah förlåt, jag ville bara se vilka värden jag skulle få som energi och därför glömde jag att lägga till deras enheter. Här är de riktiga värdena som jag fick antingen tag på mha min formelsamling och ett par från internet.

cFe = 450 J(kg·K)

lIs = 334⋅103 Jkg

ρFe = 7870 kg/m3

ρIs = 917 kg/m3

Jag förstår absolut inte hur du kan få ett bestämt värde för h. Det hela är proportionell mot kulans radie.

Får man inte den genom att bryta ut h?, h är ju höjden på formeln för vattens volym när kulan redan har smält bort en halv sfär.

jonasJ skrev:

Jag förstår absolut inte hur du kan få ett bestämt värde för h. Det hela är proportionell mot kulans radie.

Får man inte den genom att bryta ut h?, h är ju höjden på formeln för vattens volym när kulan redan har smält bort en halv sfär.

Nej. Om kulan är 10 cm kommer den fem gånger djupare än när den är 2 cm.

Ja det är sant. Men kan man ändå inte bryta ut h på grund av det. Radien finns ju med i formeln och tar det i hänsyn

jonasJ skrev:
Ja det är sant. Men kan man ändå inte bryta ut h på grund av det. Radien finns ju med i formeln och tar det i hänsyn

Jag fattar inte hur du kan få h = 1,7 cm.

Jag tror att cylinderns djup blir lite mindre än kulans radie, $h \lesssim r.$

jag fick provresultatet på denna fråga. jag kommer inte ihåg helt vad det stod men det verkade som att han endast ville ha cylinderhöjden h och därav krävs inte steget av att addera r i formeln H = h + r.

han fick fram det till att bli runtomkring 1,6 cm.

$h = \frac{4 r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{6 \cdot l_{I s} ρ_{I s}}$

det här var formeln han kom fram till.

och gällande att man bryter ut h och löser den algebraiskt så verkar det realistiskt att höjden h inte är större än radien. det betyder bara att en bit på toppen av kulan sticker ovanför isytan. trots det borde samma koncept gälla

eftersom jag har fått svar på grundfrågan av uppgiften så har jag inte mer att fråga om. jag känner att formeln jag försökte på krävde ett mycket större resonemang än vad uppgiften frågade om. jag lämnar denna tråd öppen tillsvidare ifall någon vill fråga eller säga något medans

jonasJ skrev:
jag fick provresultatet på denna fråga. jag kommer inte ihåg helt vad det stod men det verkade som att han endast ville ha cylinderhöjden h och därav krävs inte steget av att addera r i formeln H = h + r.

han fick fram det till att bli runtomkring 1,6 cm.

$h = \frac{4 r [2 c_{F e} ρ_{F e} (T_{o}^{F e} - T^{F e}) - l_{I s} ρ_{I s}]}{6 \cdot l_{I s} ρ_{I s}}$

I den formeln beror ju h på kulans radie r. Glömde du berätta för oss att den var given?

Kanske som typ 2 centimeter?

Nyligen hade jag ett prov på termodynamik. Det var sista frågan på provet då jag skulle ge en formel till djupet som en järnkula, med en känd radie, densitet, värmekapacitet och temperaturen av kokande vatten (100 grader Celsius, 373 kelvin)

jag skrev det i början av mitt inlägg, men jag kan förstå att jag kanske skrev rätt så mycket på samma gång och därav kanske det inte märktes bra. alla variabler är kända förutom höjden i det här fallet då man ska kunna sätta in deras värden i formeln och få ut svaret

Svara Avbryt

Visa senaste svar