Thévenin ekvivalent med beroende källa (dependent source) (Teknik & Bygg/Universitet)

Du har rätt i att du inte kan göra den enkla metoden, att inaktivera källorna för att beräkna ersättningsresistansen när du tittar in i AB. Den metoden funkar bara om källorna är oberoende.

Jag tror du måste använda kirchoff för att Först beräkna Uth. Sedan räkna ut kortslutningsströmmen (Ikort) mellan AB, när du kortsluter AB. Dvs använd kirchoff igen.

Sedan blir Rth=Uth/Ikort.

Kommer du vidare?

Hej,

Tack för svaret.

Tyvärr inte riktigt, vad är U_TH ? är det V_THdu menar?

Jag fick som förslag på ett annat forum att jag kan hitta Thevenin ekvivalenten genom att hitta "open-circuit voltage" och även "short-circuit current" , och sedan använda Ohms lag för att finna R_TH. Har du några idéer hur man kan ta sig fram när det är en beroende källa i kretsen?

Sorry, jag är van att beteckna spänningar med bokstaven U istället för V. Vi kör med V istället.

Det du hittade på annat forum är just den metoden du måste använda. "open-circuit voltage" är $V_{t h}$ som du söker. "short-circuit current" är strömmen du delar $V_{t h}$ med för att få fram $R_{t h}$

Såhär. "open circuit voltage" först:

Potentialvandra ifrån den oberoende spänningskällan: $V_{A} - R_{1} \times I_{1} - R_{2} \times I_{2} = V_{t h}$

Potentialvandra åt andra hållet: $V_{t h} = R_{3} \times I_{2}$

Summera strömmar i noden: $I_{1} + I_{s} = I_{2}$ där $I_{s} = k \times \frac{I_{1}}{R_{1}}$ ( $I_{s}$ är den beroende strömkällan)

Med hjälp av dessa borde du kunna teckna $V_{t h}$ som en funktion av de kända variablerna $R_{1}, R_{2}, R_{3} o c h k_{}$ (dvs eliminera $I_{1} o c h I_{2}$ )

"short circuit current" sedan (dvs du kortsluter mellan A och B). Vilket ger:

Potentialvandra ifrån den oberoende spänningskällan: $V_{A} - R_{1}$ $\times I_{3} - R_{2} \times I_{s h o r t} = 0$

Summera strömmar i noden: $I_{3} + I_{s} = I_{s h o r t}$ där $I_{s} = k \times \frac{I_{3}}{R_{1}}$

Med hjälp av dessa borde du kunna teckna $I_{s h o r t}$ som en funktion av de kända variablerna $R_{1}, R_{2} o c h k$ (dvs eliminera $I_{3}$ )

Då borde du kunna teckna $R_{t h} = \frac{V_{t h}}{I_{s h o r t}}$ som ett uttryck av de kända variablerna $R_{1}, R_{2}, R_{3} o c h k$

Puh, det blir mycket räkning med bokstäver... Kolla igenom steg för steg. Fråga om det är någonting du inte förstår. Jag tycker du kan passa på att titta på denna video också:

https://www.youtube.com/watch?v=tk5OgmjDXW8

Jag har försökt bolla fram och tillbaka med min professor och än så länge har jag kommit fram till detta:

Han menar att jag behöver hitta en tredje ekvation där jag måste uttrycka V1 i mina variabler (Va, Vb) samt kända storheter. Jag har suttit fast med att försöka hitta en tredje ekvation, men blir inte klok. Jag har dessvärre kollat igenom det klippet x-antal gånger idag, men kommer ingen vart ändå med min egna uppgift. :(

Jag har lite svårt att följa din tankegång när jag bara ser variabler tyvärr, jag förstår inte riktigt hur du får fram ekvationerna (jag tänker om det är nod analys du använder eller mesh analys) för I1, I2 och I3 gör mig förvirrad. Hur kommer dem fram?

Jag tror det framgår av potentialvandringarna, men i opencircuit-beräkningarna så har jag definierat I1 som strömmen genom R1, och I2 som strömmen genom R2.

i shortcircuit-beräkningarna har jag definierat I3 som strömmen genom R1

Jag har också satt en jordpunkt i B (nollnivå)

Detta är ju ekvationerna i ”open-circuit”:

I1(VA-R1) - I2(R2) = Vth

I2(R3) = Vth

Is = k(I1/R1)

I1 + Is = I2 och här undrar hur jag ska eliminera I1 och I2, måste jag sätta I2(R3) på högra ledet i första ekvationen?

Nej, då eliminerar du Vth. Det är en dead end.

Använd istället andra och tredje ekvationen att eliminera I1 och I2 i första ekvationen

Jag är ledsen, skulle du kunna visa en del av hur du tänker. Jag har suttit med denna uppgift i 6 timmar och jag verkar inte få in hur jag ska tänka. Skulle du kunna vara snäll och visa en början bara så jag kan komma igång.

$I_{2} = k V_{1} + \frac{V_{1}}{R_{1}} = \frac{V_{1}}{R_{e k v}} \frac{1}{R_{e k v}} = k + \frac{1}{R_{1}} V_{T H} = I_{2} R_{3} = V_{1} \frac{R_{3}}{R_{e k v}} V_{A} = V_{1} + I_{2} (R_{2} + R_{3}) V_{A} = V_{1} + \frac{V_{1}}{R_{e k v}} (R_{2} + R_{3}) V_{1} = . . . V_{T H = . . .} R_{T H = . . .}$

Hej,

skulle du kunna skriva så att jag förstår. Lite svårt när det bara är variabler. :) jag hänger med till Vth = I2R3 = V1 R3/Rekv , men inte efter det.

Ingen fara.

$V_{A} - R_{1} \times I_{1} - R_{2} \times I_{2} = V_{t h}$ (1)

$V_{t h} = I_{2} \times R_{3} \Rightarrow I_{2} = \frac{V_{t h}}{R_{3}} (2)$

$I_{1} + I_{s} = I_{2} o c h I_{s} = k \times \frac{I_{1}}{R_{1}} \Rightarrow I_{1} = \frac{I_{2}}{1 + \frac{1}{R_{1}}} (3)$

(2) och (3) ger $I_{1} = \frac{V_{t h}}{R_{3}} \times \frac{1}{1 + \frac{1}{R_{1}}} (4)$

(2) och (4) sätts in i (1)

$V_{A} - \frac{R_{1} \times V_{t h}}{R_{3} \times (1 + \frac{1}{R_{1}})} - \frac{R_{2} \times V_{t h}}{R_{3}} = V_{t h}$ (5).

Lös ut $V_{t h}$ i (5) så får du ett uttryck av $V_{t h}$ med enbart kändaparametrar.

Vi kan fortsätta imorgon.

Tack än så länge! Jag är också otroligt slutkörd så jag ska sitta och kolla på detta imorgon och hör av mig om jag inte förstår! Men tack för all hjälp än så länge! :)

skulle du kunna skriva så att jag förstår. Lite svårt när det bara är variabler. :) jag hänger med till Vth = I2R3 = V1 R3/Rekv , men inte efter det.

Med fet stil markerar jag hur I₂ och V₁ ersätts med annat i en formel

$I_{2} = k V_{1} + \frac{V_{1}}{R_{1}} = V_{1} (k + \frac{1}{R_{1}}) \frac{1}{R_{e k v}} = k + \frac{1}{R_{1}} I_{2} = \frac{V_{1}}{R_{e k v}} V_{T H} = I_{2} R_{3} = \frac{V_{1}}{R_{e k v}} R_{3} V_{A} - V_{1} - I_{2} (R_{2} + R_{3}) = 0 V_{A} = V_{1} + I_{2} (R_{2} + R_{3}) V_{A} = V_{1} + \frac{V_{1}}{R_{e k v}} (R_{2} + R_{3}) V_{A} = V_{1} (1 + (\frac{R_{2} + R_{3}}{R_{e k v}})) = V_{1} (\frac{R_{e k v} + R_{2} + R_{3}}{R_{e k v}}) V_{1} = V_{A} (\frac{R_{e k v}}{R_{e k v} + R_{2} + R_{3}}) V_{T H} = \frac{V_{1}}{R_{ekv}} R_{3} = V_{1} \frac{R_{3}}{R_{e k v}} = V_{A} (\frac{R_{e k v}}{R_{e k v} + R_{2} + R_{3}}) (\frac{R_{3}}{R_{e k v}}) V_{T H} = V_{A} (\frac{R_{3}}{R_{e k v} + R_{2} + R_{3}}) R_{T H = . . .}$

JohanF skrev:
Sorry, jag är van att beteckna spänningar med bokstaven U istället för V. Vi kör med V istället.
Det du hittade på annat forum är just den metoden du måste använda. "open-circuit voltage" är $V_{t h}$ som du söker. "short-circuit current" är strömmen du delar $V_{t h}$ med för att få fram $R_{t h}$
Såhär. "open circuit voltage" först:
Potentialvandra ifrån den oberoende spänningskällan: $V_{A} - R_{1} \times I_{1} - R_{2} \times I_{2} = V_{t h}$
Potentialvandra åt andra hållet: $V_{t h} = R_{3} \times I_{2}$
Summera strömmar i noden: $I_{1} + I_{s} = I_{2}$ där $I_{s} = k \times \frac{I_{1}}{R_{1}}$ ( $I_{s}$ är den beroende strömkällan)
Med hjälp av dessa borde du kunna teckna $V_{t h}$ som en funktion av de kända variablerna $R_{1}, R_{2}, R_{3} o c h k_{}$ (dvs eliminera $I_{1} o c h I_{2}$ )

"short circuit current" sedan (dvs du kortsluter mellan A och B). Vilket ger:
Potentialvandra ifrån den oberoende spänningskällan: $V_{A} - R_{1}$ $\times I_{3} - R_{2} \times I_{s h o r t} = 0$
Summera strömmar i noden: $I_{3} + I_{s} = I_{s h o r t}$ där $I_{s} = k \times \frac{I_{3}}{R_{1}}$
Med hjälp av dessa borde du kunna teckna $I_{s h o r t}$ som en funktion av de kända variablerna $R_{1}, R_{2} o c h k$ (dvs eliminera $I_{3}$ )
Då borde du kunna teckna $R_{t h} = \frac{V_{t h}}{I_{s h o r t}}$ som ett uttryck av de kända variablerna $R_{1}, R_{2}, R_{3} o c h k$
Puh, det blir mycket räkning med bokstäver... Kolla igenom steg för steg. Fråga om det är någonting du inte förstår. Jag tycker du kan passa på att titta på denna video också:
https://www.youtube.com/watch?v=tk5OgmjDXW8

Hur fick du fram: VA - R1 × I1 - R2 × I2 = Vth ?

jag hängde inte med vad som ändå efer R2 * I2, vart är R3 * I2 ? och vart kommer Vth ifrån?

Ekvationen fick jag fram genom att potentialvandra medsols från $V_{A}$

$V_{t h}$ är spänningen mellan AB, dvs $R_{2} \times I_{2}$ . (precis som du vill att det ska vara, så du är på rätt väg). Anledningen till att jag införde variabeln $V_{t h}$ är ju enbart eftersom den måste sedan användas när du ska räkna ut $R_{t h} = \frac{V_{t h}}{I_{s h o r t}}$

JohanF skrev:
Ekvationen fick jag fram genom att potentialvandra medsols från $V_{A}$
$V_{t h}$ är spänningen mellan AB, dvs $R_{2} \times I_{2}$ . (precis som du vill att det ska vara, så du är på rätt väg). Anledningen till att jag införde variabeln $V_{t h}$ är ju enbart eftersom den måste sedan användas när du ska räkna ut $R_{t h} = \frac{V_{t h}}{I_{s h o r t}}$

jaha så Vth är alltså inte R3 * I2, det trodde jag nämligen eftersom att A är i ena änden och B är i andra änden av R3

Nä nu skrev jag fel!!! Jag är ledsen, $V_{t h} = R_{3} \times I_{2}$ , ingenting annat!

Fortsätt på din inslagna väg.

JohanF skrev:
Nä nu skrev jag fel!!! Jag är ledsen, $V_{t h} = R_{3} \times I_{2}$ , ingenting annat!
Fortsätt på din inslagna väg.

okej okej men vad menas då med potentialvandra åt andra hållet? Man borde väl få samma resultat om man potentialvandrar med- eller moturs?

samt hur kom du fram till att Is = k * I1 / R1 ? vad innebär det

borde det inte vara k * I1 * R1 ? för det är väl k * V1 och V1 är väl = I1 * R1 eller tänker jag fel?

Du tänker såklart rätt angående Is, den beroende strömkällan. Tryckfelsnisse hos mig igen.

Jo, det är samma sak att potentialvandra medurs och moturs, om man går hela varvet.
Jag gick från Va till Vth medurs, sedan från noll till Vth moturs, då får man de två ekvationerna med Vth.

JohanF skrev:
Du tänker såklart rätt angående Is, den beroende strömkällan. Tryckfelsnisse hos mig igen.
Jo, det är samma sak att potentialvandra medurs och moturs, om man går hela varvet.
Jag gick från Va till Vth medurs, sedan från noll till Vth moturs, då får man de två ekvationerna med Vth.

okej okej men kV1 = k * R1 * I1 ?

stämmer det? för i så fall kan jag nog lösa denna :)

Jepp, stämmer!

JohanF skrev:
Jepp, stämmer!

Okej tack!

Hänger dock inte med på hur man ska lösa Isc

Är det inte I1 + Is = I2 som när vi räknade Vth

är inte I2 = Isc om vi kortsluter A och B ? eller hur ska man räkna ut Isc?

EDIT: Undrar också hur det går ihop att I1 + Is = I2 när Is är definierad som k R1*I1 som är en spänning? förstår inte hur man då kan ha med en spänning när man använder kirschhoffs strömlag?

Vi ska se... Du håller på att räkna ut $I_{s h o r t}$ dvs strömmen från A till B när vi har kortslutit dessa punkter, eller hur?

$I_{1}$ är definierad som strömmen genom $R_{1}$

$I_{s h o r t}$ är definierad som strömmen genom $R_{2}$ , dvs den ström vi vill teckna et uttryck för.

Potentialvandring ger:

$V_{A} - I_{1} \times R_{1} - I_{s h o r t} \times R_{2} = 0 (1)$

Strömsummering i noden ger:

$I_{1} + k \times R 1 \times I_{1} = I_{s h o r t} d v s I_{1} = \frac{I_{s h o r t}}{1 + k \times R 1} (2)$

(1) och (2) borde kunna kombineras och eliminera $I_{1}$ så att $I_{s h o r t}$ kan uttryckas av de kända variablerna $k, R_{1}, R_{2} o c h V_{A}$

Vad tror du om det?

JohanF skrev:
Vi ska se... Du håller på att räkna ut $I_{s h o r t}$ dvs strömmen från A till B när vi har kortslutit dessa punkter, eller hur?
$I_{1}$ är definierad som strömmen genom $R_{1}$
$I_{s h o r t}$ är definierad som strömmen genom $R_{2}$ , dvs den ström vi vill teckna et uttryck för.

Potentialvandring ger:
$V_{A} - I_{1} \times R_{1} - I_{s h o r t} \times R_{2} = 0 (1)$
Strömsummering i noden ger:
$I_{1} + k \times R 1 \times I_{1} = I_{s h o r t} d v s I_{1} = \frac{I_{s h o r t}}{1 + k \times R 1} (2)$
(1) och (2) borde kunna kombineras och eliminera $I_{1}$ så att $I_{s h o r t}$ kan uttryckas av de kända variablerna $k, R_{1}, R_{2} o c h V_{A}$
Vad tror du om det?

yes det var det jag menade att det blir samma uttryck som när man räknade ut Vth där du skrev "Summera strömmar i noden..."

dvs att I1 + Is = Isc = I2 ?

undrar också hur det går ihop att I1 + Is = I2 när Is är definierad som k R1*I1 som är en spänning? förstår inte hur man då kan ha med en spänning när man använder kirschhoffs strömlag?

undrar alltså hur man kan räkna med Is som en ström när det är en spänning?

Bra fråga. $I_{s}$ är faktiskt en ström, men strömmen från just denna strömkällan är proportionell mot en spänning (spänningen över $R_{1}$ ). Du kan matematiskt helt enkelt se det som att konstanten k har enheten "Ampere per Volt", dvs $k \times V_{1}$ blir en ström. Sådana samband mellan strömmar och spänningar kan man ofta få om man har transistorer i sin krets.

Strömkällan i uppgiften är förmodligen alltså egentligen en matematisk förenkling av någon annan slags elektronisk krets som innehåller transistorer och får just detta linjära beroendet med k.

Jag sov på saken om din fråga. Såhär kan strömkällans beroende kanske förklaras så att det blir mer förståeligt...

Du tycker att det är märkligt att $I_{s}$ kan vara en ström, då $I_{s}$ enligt uppgiften är en förstärkt spänning med förstärkningsfaktorn $k$ , dvs $I_{s} = k \times V_{1}$ .

MEN, som du själv listade ut, så kan du skriva om ekvationen för $I_{s}$ som $I_{s} = k \times R_{1} \times I_{1}$ . Eller ännu tydligare, som $I_{s} = (k \times R_{1}) \times I_{1}$ ). Att använda en resistor om man vill skapa en spänning som är proportionell mot en viss ström, är väldigt vanligt i elektronikkonstruktioner (det är ju själva definitionen av en resistor, enligt Ohm's lag...). Eftersom nu både $k_{}$ och $R_{1}$ i detta fall är konstanter, så är alltså "i verkligheten" $I_{s}$ en förstärkning av strömmen $I_{1}$ , med förstärkningsfaktorn $(k \times R_{1})$ .

Dvs strömförstärkning mellan två olika strömmar.

Därigenom blir det, vid första anblicken konstlade, matematiska strömkälleberoendet i uppgiften, istället ganska lättförståeligt. Förstärkning av strömmar är en huvudegenskap hos transistorer, och man kan ganska lätt "i verkligheten" bygga en elektrisk krets som har just det beteendet som uppgiften beskriver med hjälp av resistorer och transistorer.

Exakt hur en sådan elektronisk konstruktion skulle kunna se ut kanske ingår i en mer avancerad elektronik-kurs. Meningen med uppgiften ovan var bara att visa att tvåpolsteoremet (thevenin) kan användas även i en sådan typ av elektronikkonstruktion.

JohanF skrev:
Jag sov på saken om din fråga. Såhär kan strömkällans beroende kanske förklaras så att det blir mer förståeligt...

Du tycker att det är märkligt att $I_{s}$ kan vara en ström, då $I_{s}$ enligt uppgiften är en förstärkt spänning med förstärkningsfaktorn $k$ , dvs $I_{s} = k \times V_{1}$ .
MEN, som du själv listade ut, så kan du skriva om ekvationen för $I_{s}$ som $I_{s} = k \times R_{1} \times I_{1}$ . Eller ännu tydligare, som $I_{s} = (k \times R_{1}) \times I_{1}$ ). Att använda en resistor om man vill skapa en spänning som är proportionell mot en viss ström, är väldigt vanligt i elektronikkonstruktioner (det är ju själva definitionen av en resistor, enligt Ohm's lag...). Eftersom nu både $k_{}$ och $R_{1}$ i detta fall är konstanter, så är alltså "i verkligheten" $I_{s}$ en förstärkning av strömmen $I_{1}$ , med förstärkningsfaktorn $(k \times R_{1})$ .
Dvs strömförstärkning mellan två olika strömmar.
Därigenom blir det, vid första anblicken konstlade, matematiska strömkälleberoendet i uppgiften, istället ganska lättförståeligt. Förstärkning av strömmar är en huvudegenskap hos transistorer, och man kan ganska lätt "i verkligheten" bygga en elektrisk krets som har just det beteendet som uppgiften beskriver med hjälp av resistorer och transistorer.
Exakt hur en sådan elektronisk konstruktion skulle kunna se ut kanske ingår i en mer avancerad elektronik-kurs. Meningen med uppgiften ovan var bara att visa att tvåpolsteoremet (thevenin) kan användas även i en sådan typ av elektronikkonstruktion.

okej tack för förklaringen

hur räknar jag ut Isc, undrar om det är I1 + Is = Isc = I2 ? Om kortsluter A och B kommer väl I2 vara = Isc ?

och den ekvationen har vi väl från när vi räknade Vth ?

Ja, då AB kortsluts blir I2=Isc.

Nej, du får inte använda uträknade värden från då Vth beräknades, eftersom i den uträkningen är inte AB kortsluten. (Däremot kan du ju naturligtvis använda kirchoffs strömlag på samma sätt som när du räknade Vth)