Tid upp tid ner, problem med differentialekvationer och begynnelsevilkor.

Här är uppgifts beskrivningen:

Om du kastar en boll rakt upp i luften, så tar det en viss tid för bollen att nå sin högsta hölj och en viss tid för bollen att sedan återvända till marken. Men vilket tar längst tid, färden upp eller fallet ned? Eller tar färden upp lika lång tid som fallet ned?

1) Utgå från Newtons andra lag. Bortse från luftmotståndet och ställ upp den differentialekvation som beskriver rörelsen hos en boll som du kastar rakt upp i luften. Lös differentialekvationen och visa att det tar ika lång tid för bollen att nå sin högsta punkt, som det tar för bollen att fall tillbaka till utgångspunkten.

 

2) Antag i stället att luftmotståndet FlFl är en kraft som är proportionell mot bollens hastighet, dvs FL=−kvFL=-kv. Visa med hjälp av Newtons andra lag att bollens rörelse nu kan beskrivas med differentialekvationen

h''(t) + kmh'(t) = −g h''(t) + kmh'(t) = -g 

där h(t) är bollens höjd över marken vid tiden t s.

 

3) Formulera själv lämpliga begynnelsevillkor och värden på de ingående konstanterna. Lös därefter differentialekvationen och beräkna den tid det tar för bollen att nå sin högsta punkt respektive den tid det tar för bollen att från den högsta punkten åter nå sin utgångspunkt.

 

4)Värdera din lösning noga. Hur påverkas resultatet av bollens utgångshastighet och värdena på konstanterna k och m?

 

Jag har fastnat på 3an där jag försökt formulera begynnelsevillkoren, att massan på bollen är cirka 0.6kg, friktionskonstanten är cirka 0.47 (enligt internet) och att utgångshastigheten är cirka 5m/s men jag får en negativ tid på grund av jag tar ln av en kvot mindre än 1. 

Här är min formel för hastighet som jag försöker använda för att beräkna tiden

 

v(t) =Ce^(k/m)t -(gm/k) vilket ger mig formel för tiden t= m/k * ln(gm/kC) och att C borde vara lika med C = v0 + gm/k