4 svar
209 visningar
tomast80 3247
Postad: 1 apr 2020

Tidpunkt då urtavlan delas jämnt?

Hej!

Under ett dygn, kommer klockans visare: timvisaren, minutvisaren och sekundvisaren hamna så att urtavlan delas in i tre exakt lika stora areor?

AlvinB 3847
Postad: 1 apr 2020

Detta var lurigare än det såg ut. Är tanken att visarna är "kontinuerliga" eller är de "diskreta"? Det vill säga, går t.ex. minutvisaren jämnt mellan minuterna eller gör den ett hopp när det blir en ny minut?

Om det är den kontinuerliga varianten (vilket jag ursprungligen tolkade det som) har jag svårt att finna exakta lösningar. Det finns klockslag som kommer väldigt nära (på några tiondels grader, t.ex. klockan 00:21:41,7), men inget exakt.

tomast80 3247
Postad: 2 apr 2020 Redigerad: 2 apr 2020
AlvinB skrev:

Detta var lurigare än det såg ut. Är tanken att visarna är "kontinuerliga" eller är de "diskreta"? Det vill säga, går t.ex. minutvisaren jämnt mellan minuterna eller gör den ett hopp när det blir en ny minut?

Om det är den kontinuerliga varianten (vilket jag ursprungligen tolkade det som) har jag svårt att finna exakta lösningar. Det finns klockslag som kommer väldigt nära (på några tiondels grader, t.ex. klockan 00:21:41,7), men inget exakt.

Hej!

Bra poäng! Visarna är kontinuerliga. Kan du visa då analytiskt att det ej finns någon lösning? Snarare, hur visar du det?

Kan man tänka så här? Ett litet motsägelsebevis. Jag bildar uttryck för hur stor vinkel varje visare bildar mot klockan 12 efter tt sekunder (anta att starten är precis kl 0:00, så alla visare pekar rakt upp):

Timvisaren (ett varv på 12 timmar): 360°·t12·3600=t120°360^\circ \cdot \frac{t}{12\cdot 3600} = \frac{t}{120}^\circ

Minutvisaren (ett varv på 1 timme): 360°·t3600=t10°360^\circ \cdot \frac{t}{3600} = \frac{t}{10}^\circ

Sekundvisaren (ett varv på 1 minut): 360°·t60=6t°360^\circ \cdot \frac{t}{60} = 6t^\circ

Om urtavlan är indelad i tredjedelar måste differensen mellan varje par av visare vara en multipel av 120°120^\circ, en tredjedels varv. T.ex. kan man utgå från sekundvisaren, som hunnit längst:

6t-t10=120n1    59t=1200n16t-t120=120n2    719t=1202n26t - \frac{t}{10} = 120n_1 \quad \Leftrightarrow \quad 59t = 1200n_1 \\ 6t - \frac{t}{120} = 120n_2 \quad \Leftrightarrow \quad 719t = 120^2n_2

Dessutom får inga visare sammanfalla, så ingen differens får vara en multipel av 360°360^\circ. Därför får inte n1n_1 eller n2n_2 vara multiplar av 3. Men, delar man ekvationerna ovan fås:

719t59t=1202n21200n1    n1=71912·59n2\frac{719t}{59t} = \frac{120^2n_2}{1200n_1} \quad \Leftrightarrow \quad n_1 = \frac{719}{12\cdot 59}n_2

719 är ett primtal, så för att n1n_1 ska bli ett heltal måste n2n_2 vara en multipel av 12·5912\cdot 59, vilket innehåller faktorn 3. Men det fick den ju inte göra, då kommer sekund- och timvisaren sammanfalla. Motsägelse alltså, så visarna delar aldrig in tavlan i tredjedelar.

Ser nu att jag slarvade i överföringen från papper till PA, indexen hamnade fel i sista ekvationen. n2=71912·59n1n_2 = \frac{719}{12\cdot 59}n_1 ska det vara!

Svara Avbryt
Close