Tillämpning av enkla integraler

Tja! Har stött på en uppgift jag inte riktigt får till svaret på. Har precis börjat med integraler och exempel på tillämpningar. Alltet lyder:

"vid flod strömmar vatten in i en hamn med hastigheten f'(t) m³/h där $f' (t) = - 120 t^{2} + 600 t, 0 \leq t \leq 4, 0 .$
t är tiden i timmar från att vattnets inströmning startar."

a) När är inströmningshastigheten som störst?

b)beräkna $\int_{0}^{4, 0} f' (t) d t$ och skriv med ord vad du beräknat

a) Här tänkte först att det kändes konstigt enkelt att bara sätta in högsta värdet för t i prim funktionen, men gjorde så, t=4 --> $f' (4) = - 120 * 4^{2} + 600 * 4 = 480$ , alltså då 4h . Det var fel. Facit säger att det var då det gått 2,5h. Jag vet att det här ska vara enkelt, eller jag har löst liknande uppgifter tidigare men det har tagit stopp i huvudet och jag kan inte förstå hur man kommer fram till just 2,5. Jag har räknat med värden för "t"=1 till 4 och ser ju att 2,5 ger högsta värdet. Det kan väl inte vara tänkt att man ska "testa" sig fram med alla värden mellan 1 till 4 för att se vad summan blir? Hur går man till väga?

b) jag beräknade integralen på följande sätt: $\int_{0}^{4, 0} - 120 t^{2} + 600 t d t = [- 40 t^{3} + 300 t^{2}] = (- 40 * 4^{3} + 300 * 4^{2}) - 0 = 2240 m^{3}$

Och skrev att 2240m³ vatten strömmar in i hamnen under de första 4h.

Det var fel med 40m³ tydligen, 2200m³ var rätt. Men det är vad min miniräknare säger. Ska jag gissa att man av någon anledning avrundar eller gör jag fel i beräkningen av den primitiva funktionen?

b) Det ser rätt ut. Troligen avrundning på slutet. Vad står det i texten om antal värdesiffror i svaret?

a) Nej, det är max-värdet på inströmningshastigheten som efterfrågas,
dvs max-värdet på f´(t), (inte max-värdet på x).

Arktos skrev:
b) Det ser rätt ut. Troligen avrundning på slutet. Vad står det i texten om antal värdesiffror i svaret?

a) Nej, det är max-värdet på inströmningshastigheten som efterfrågas,
dvs max-värdet på f´(t), (inte max-värdet på x).

Tack för svar.
b) Det jag skrev är det ända som står i uppgiften

a), precis. Och det maxvärdet fås då t=2,5h. Men vad är det jag skall använda mig av för att ta reda på det nu. Just i detta fall kunde jag ju , efter att ha sett facit, rent praktiskt bara testat timme för timme eftersom ena termen är negativ och den andra positiv och båda är beroende av t. Men, med brist på ord, det fanns väl ett sätt att komma fram till max-värdet. Det har väl med maximi och minimi. kan det gå med ett tecken-schema? (jag skall testa när jag kan sätta mig igen med det här strax)

Vad är standardmetoden för att ta rea på när något är som störst (eller minst)? (Det finns inget som hindrar att man deriverar en derivata!)

Rättelse:

Så här skrev jag
a) Nej, det är max-värdet på inströmningshastigheten som efterfrågas,
dvs max-värdet på f´(t), (inte max-värdet på x).

Så här ska det vara:
a) Nej, det är max-värdet på inströmningshastigheten som efterfrågas,
dvs max-värdet på f´(t), (inte värdet på f´(t) för max-värdet på x).

Nuuu så! Jag har suttit och gjort det baklänges i ett par dagar nu (räknat primitiva funktionen) så när jag tidigare försökte derivera så skrev jag av "vana" in den primitiva fast tänkte att jag deriverade i a) uppgiften! Haha!

Derivera funktionen f'(t)=-120t²+600t --> f''(t)=-240t+600 --> f''(t)=0 ger -240t+600=0. 600=240t och dividera båda led med 240 leder till t=2,5.

Jag VISSTE att det var enkelt!

Tack så mycket för hjälpen till båda!

Svara Avbryt

Visa senaste svar