Tillämpningar av kedjeregeln

Hur ser uppgiften ut?

d) är den jag hade svårt med

Produktregeln ger x*h/3 + (x²/2)*(dh/dx)/3. Det är tydligen meningen att man ska betrakta h som en konstant här, inte som en funktion av x, och då försvinner den andra termen.

Du skulle kunna göra samma fundering i c, huruvida r är en funktion av h.

Okej så pga att h är en konstant dvs g(x) inte är en funktion, så kan man inte applicera produktregeln? 

eddberlu skrev:

Hur gjorde jag fel? Är det att $\frac{h}{3}$inte är en funktion då h är en konstant när man räknar derivatan av v m.a.p. x? 

Du skrev att g(x) = h/3.

Felet var att du även skrev att g'(x) = h/3.

Om h vore en funktion av x så skulle inte g'(x) vara lika med h/3.

eddberlu skrev:

Okej så pga att h är en konstant dvs g(x) inte är en funktion, så kan man inte applicera produktregeln? 

Jo, du kan applicera produktregeln. Men om h inte beror av x så är x-derivatan av h/3 lika med 0, precis som derivatan av vilken konstant som helst 

Yngve skrev:

eddberlu skrev:

Hur gjorde jag fel? Är det att $\frac{h}{3}$inte är en funktion då h är en konstant när man räknar derivatan av v m.a.p. x? 

Du skrev att g(x) = h/3.

Felet var att du även skrev att g'(x) = h/3.

Om h vore en funktion av x så skulle inte g'(x) vara lika med h/3.

Då hade det blivit 1/3 eller hur?

Yngve skrev:

eddberlu skrev:

Okej så pga att h är en konstant dvs g(x) inte är en funktion, så kan man inte applicera produktregeln? 

Jo, du kan applicera produktregeln. Men om h inte beror av x så är x-derivatan av h/3 lika med 0, precis som derivatan av vilken konstant som helst 

Men bråk och faktorer stannar väl kvar i derivata även när de är konstanter? ex Y=2*2x^2= 2*4x=8x?

Yngve skrev:

eddberlu skrev:

Okej så pga att h är en konstant dvs g(x) inte är en funktion, så kan man inte applicera produktregeln? 

Jo, du kan applicera produktregeln. Men om h inte beror av x så är x-derivatan av h/3 lika med 0, precis som derivatan av vilken konstant som helst 

Det här var förvirrande, i denna uppgift d) som jag förstår det kan jag INTE använda produktregeln pga att h är en konstant i denna ekvation?

eddberlu skrev:

Då hade det blivit 1/3 eller hur?

Nej, det beror på hur h beror av x.

Säg t.ex. att h(x) = 4x². Då är h/3 = 4x²/3 och x-derivatan av detta är 8x/3.

Okej, så långt e jag med

eddberlu skrev:

Det här var förvirrande, i denna uppgift d) som jag förstår det kan jag INTE använda produktregeln pga att h är en konstant i denna ekvation?

Du behöver inte applicera produktregeln. Den är mest användbar när vi har en produkt mellan flera faktorer, där varje faktor är en funktion av x.

Vi tar några exempel:

Exempel 1: f(x) = 3•x².

Här har vi en produkt mellan de två faktorerna 3 och x².

Den första faktorn beror inte av x, den är en konstant.

Den andra faktorn beror av x.

Om du deriverar f(x) direkt utan produktregel blir det f'(x) = 3•2x eftersom den konstanta faktorn förblir opåverkad av deriveringen.

Om du istället använder produktregeln, vilket som sagt är onödigt här, så kan du sätta f(x) = g(x)•h(x), där g(x) = 3 och h(x) = x².

Enligt produktregeln så blir f'(x) = g'(x)•h(x) + g(x)•h'(x).

Eftersom g(x) = 3 så är g'(x) = 0.

Eftersom h(x) = x² så är h'(x) = 2x.

Vi får då f'(x) = 0•x² + 3•2x = 0 + 3•2x = 3•2x.

Vi får alltså samma resultat, vilket är bra.

========

Exempel 2: f(x) = x³•e^x

Här har vi en produkt mellan de två faktorerna x³ och e^x.

Båda dessa faktorer beror av x, vilket gör att vi måste använda produktregeln.

Vi sätter f(x) = g(x)•h(x), där g(x) = x³ och h(x) = e^x.

Vi får g'(x) = 3x² och h'(x) = e^x.

Produktregeln ger oss då att f'(x) = g'(x)•h(x) + g(x)•h'(x) = 3x²•e^x + x³•e^x.

=====

Hoppas att det blev lite klarare då?

Mycket klart och fint! Tack!!!