topologi, kontaktpunkt
Hej
jag har en uppgift som jag skulle behöva lite hjälp med.
Uppgiften är:
Bevisa att varje kontaktpunkt av en mängd M är antingen en gränspunkt av M eller en isolerad punkt av M.
För att först reda ut begreppen isolerad punkt och gränspunkt så har jag förstått det som:
En isolerad punkt är väl vad jag förstått det som ett öppet intervall eller boll med någon radie sådant att den innehåller x men inte innehåller någon annan punkt av delmängden.
En gränspunkt: en punkt x kallas en gränspunkt av A om vilken icke-tom öppen boll som helst runt x innehåller en punkt from A.
Kontaktpunkt: en punkt x i X sådant att för alla öppna mängder som innehåller x så innehåller de minst en punkt av A. Samt att en punkt x är en kontaktpunkt för A endas om x är sluten i A.
Sedan har vi att varje gränspunkt är en kontaktpunkt och att en kontaktpunkt som inte är en gränspunkt är en isolerad punkt. Alltså vet vi att påståendet stämmer. Det jag har svårt med är att bevisa att det stämmer.
Kontaktpunkt: Vad menar du när du skriver att elementet x är sluten i mängden A?
Isolerad punkt: Du skriver att en isolerad punkt är ett intervall (?) eller en boll med någon radie (?) som innehåller en punkt x, men inte innehåller någon annan punkt av den mängden (vilken mängd? bollen?). Så en isolerad punkt är ett intervall?
Låt vara ett topologiskt rum och låt vara en icke-tom delmängd. En punkt är isolerad om en-punktsmängden är öppen i den inducerade topologin ; elementen i är snittmängder där .
