2 svar
49 visningar
Tinelina är nöjd med hjälpen!
Tinelina 111
Postad: 11 sep 2019

Topologi och metrics

Detta är min lösning. Sen fastnade jag. Idag fick vi ut lärarens lösningar. Nedan ör min lärares lösning. Och jag har gjort rätt så långt jag kom. Men sen förstår jag inte vad som händer. Någon som vill förklara tydligare?

oggih 369 – F.d. Moderator
Postad: 11 sep 2019 Redigerad: 11 sep 2019

Till att börja med. Låt oss meditera lite över vad ekvivalensen egentligen betyder. Jag hatar dubbelolikheter, så i mitt huvud skriver jag genast om detta till två stycken olikheter:

  d1(x,y)1cd2(x,y)d_1(x,y)\leqslant \frac{1}{c} d_2(x,y)

  d2(x,y)Cd1(x,y).d_2(x,y)\leqslant C d_1(x,y)\,.

Ett sätt att tolka den första olikheten är att säga att om xx och yy är nära varandra d2d_2-metriken (så att d2(x,y)d_2(x,y) är nära 0), så kommer de även att vara nära varandra i d1d_1-metriken, eftersom d1d_1 aldrig kan vara mer än 1/c1/c gånger så stort om d2d_2.

Den andra olikheten kan tolkas på motsvarande sätt.


Problemet. Vi har antagit att UXU\subseteq X är öppen med avseende på d1d_1-metriken, och vill visa att UU då måste vara öppen med avseende på d2d_2-metriken. 

Sättet vi gör detta på, är att låta aUa\in U vara en godtycklig punkt, och sedan visa att det finns vad jag brukar kalla lite "wiggle room" runt aa. Alltså vi vill hitta någon liten radie R>0R>0 sådan att om vi håller oss inom den radien (med avseende på d2d_2), så kommer vi garanterat inte trilla utanför mängden UU.

Jahapp, hur hittar man en sån radie då?

Precis som du är inne på så vet vi ju redan att det finns en sådan radie med avseende på d1d_1 eftersom UU är öppen med avseende på d1d_1. Vi kan kalla denna radie r>0r>0.

Kom ihåg tolkningen: om vi håller oss inom denna raide rr (med avseende på d1d_1) så kommer vi inte trilla utanför UU. Symboliskt kan vi uttrycka detta precis som du gjorde:

   d1(x,a)<rxU.d_1(x,a)<r\Longrightarrow x\in U\,.

Tricket nu är att välja vår d2d_2-radie RR så att vi håller oss inom d1d_1-wiggle roomet. Och det är inte så svårt. Kom ihåg att d1d_1 ju begränsas av vad d2d_2 enligt olikheterna som vi gick igenom ovan.

Med bakgrund av det väljer vi att hålla oss inanför radien R=crR=cr avseende på d2d_2. Varför slänger jag in ett cc där? Jo, om d2(a,x)<crd_2(a,x)<cr så gäller nämligen

   d1(a,x)1c·d2(a,x)<1c·cr=r,d_1(a,x)\leqslant \frac{1}{c}\cdot d_2(a,x)<\frac{1}{c}\cdot cr=r\,,

vilket ju garanterade att xUx\in U

Eftersom vår punkt aUa\in U valdes godtyckligt, så konstaterar vi att det går att hitta sådant här d2d_2-wiggle room runt alla punkter i UU, och drar slutsatsen att UU måste vara öppen med avseende på d2d_2. Tada!


Alternativ notation. Med din lärares notation så kan d1d_1-wiggle roomet uttryckas som att Br(d1)(a)UB_r^{(d_1)}(a)\subseteq U. Att det finns plats ett d2d_2-wiggle room innanför kan uttryckas som att Bcr(d2)(a)Br(d1)(a)UB_{cr}^{(d_2)}(a)\subseteq B_r^{(d_1)}(a)\subseteq U.


Var detta någorlunda begripligt? Om inte, så är det bara att säga till, så försöker vi förklara bättre.

Några följdfrågor att fundera på:

  • Kan du visa omvändningen, dvs. att om UXU\subseteq X är öppen med avseende på d2d_2, så är UU öppen även med avseende på d1d_1. (Beviset kommer se nästan likadant ut!)
  • Kan du ge exempel på några olika men ekvivalenta metriker på n\mathbb{R}^n?
Tinelina 111
Postad: 11 sep 2019

Aahaa tack!! :D

Svara Avbryt
Close