Totala sannolikhetslagen, uppgift

Hej! Jag har en uppgift som jag behöver lite hjälp med. Den lyder enligt följande:

"Your new neighbors have three children. If you are told about three independent observations of a boy, what is the probability that they have three boys?" Svaret skall vara 1/2.

Jag löser uppgiften enligt följande.

Vårt utfallsrum är $S = {B B B, G G G, B B G, G G B}$

Vi kallar händelserna $A_{i} = {o b s e r v a t i o n i a v B} \Rightarrow P (A_{i}) = \frac{3}{4} \forall i \Rightarrow P (A) = P (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}) = {(\frac{3}{4})}^{3}$ och händelsen C={BBB}. Vi söker därför nu $P (C | A)$ .

Här så vill jag använda att $P (C | A) = \frac{P (C) P (A | C)}{P (A)}$ där jag tycker det är ganska uppenbart att $P (A | C) = 1$ eftersom om familjen består av tre pojkar så är det ju klart att alla tre observationer kommer vara av pojkar. Och då borde vi ha allting för att lösa uppgiften. Men detta är inte rätt. Jag vet inte heller vart någonstans det blir fel. Är mycket tacksam för hjälp!

Edit: Trådrubriken syftar på att formeln ovan för P(C|A) kan utvecklas vidare med hjälp av totala sannolikhetslagen, ifall vi inte enkelt kunde räkna ut P(A). I detta problem så ser jag dock inte varför det skulle behövas.

Mvh!

Det här är sannolikhetsteori för de galna. I verkligheten skulle ju ingen applicera sannolikhet på detta då det lika gärna kan vara så att två av barnen är hemmasittare medan ett enda barn går till och från skolan varje dag i vilket fall antalet observationer av pojkar (samma pojke) aldrig kan säga oss vilka hemmasittarna är.

Jag kommer därmed att göra om situationen så att det faktiskt finns en sannolikhetsaspekt till det:

"Ur en stor hög med lika många svarta som vita kort plockar jag slumpmässigt tre kort och bildar en kortlek med tre kort. Jag blandar kortleken och drar ett kort. Kortet är svart. Jag lägger tillbaka kortet, blandar och drar igen. Också svart! Jag lägger tillbaka kortet och blandar, och drar ett kort för tredje gången, Svart igen! Vad är sannolikheten att min kortlek endast har svarta kort?"

Jag kommer att skissa på ett lösningsförslag nu men jag ville först göra klart hur jag tolkar problemet samt ge dig chansen att tolka problemet utifrån denna i mina ögon klarare version.

EDIT: Behövde göra det explicit hur kortleken bildas. I ursprungsproblemet motsvaras detta av antagandet att sannolikheterna att få en pojke eller en flicka vid graviditet är lika stora.

Lösning (utifrån kortterminologin):

Eftersom såväl utfall som hypotes kan uttryckas i termer av antal, vi drar 3 kort, och ska undersöka om vi har 3 svarta kort i handen, så är det rimligt att uttrycka vårt utfallsrum och våra händelser med hjälp av tal snarare än kombinationer av bokstäver.

Låt mig säga att (h,d) representerar utfallet av att ha en hand med h svarta kort och att man vid dragningen av de tre korten fick d svarta kort. (h,d) = (2,1) skulle betyda att man fick en hand med 2 svarta kort och sedan vid dragningen-återläggning av tre kort fick totallt 1 svart kort.

Vad vi vill bestämma är

$P(h = 3 | d = 3)$ , sannolikheten att ha en hand med 3 svarta om man dragit-och-återlagt 3 svarta kort ur handen

Vad vi kan utnyttja här är att den omvända betingade sannolikheten, $P(d = 3 | h = 3)$ sannolikheten att dra tre svarta kort i följd om handen endast består av svarta kort är trivial att bestämma til,

$P(d = 3 | h = 3) = 1$

Detta är kritiskt eftersom det finns en relation som relaterar betingning i en riktning och betining i motsatta riktningen

$P(A\cap B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$ eller

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$ (effektivt en variant av lagen om total sannolikhet)

Detta ger oss

$P(h = 3 | d = 3) = \frac{P(d = 3|h = 3) P(h = 3)}{P(d = 3)} = \frac{P(h = 3)}{P(d = 3)}$

Sannolikheten att inledningsvis dra en hand med tre svarta kort är $P(h = 3) = 1/2)^3 = 1/8$ och apriorisannolikheten att dra tre svarta kort ut en okänd hand är

$P(d = 3) = P(h = 1)P(d = 3|h = 1) + P(h = 2)P(d = 3|h = 2) + P(h = 3)P(d = 3|h = 3)$

$P(d = 3) =\frac{3}{8}\frac{1}{3^3} + \frac{3}{8}\left (\frac{2}{3}\right )^3 + \frac{1}{8}1 = 1/4$

Så slutligen

$P(h = 3 | d = 3) =\frac{P(h = 3)}{P(d = 3)} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2}$

Okej, tack för svar. Jag ska kika på denna en gång till. Får se ifall jag lyckas bättre nu. Tack!

Svara Avbryt

Visa senaste svar