Transformation till polära koordinater

Se här.

Tyvärr gjorde detta mig lite mer förvirrad..

Ett tips är att använda kedjeregeln. Om du t.ex. vill bestämma $\frac{df}{dr}$ kan du utnyttja att $\frac{df}{dr} =\frac{df}{dx}\frac{dx}{dr} + \frac{df}{dy}\frac{dy}{dr}$.

Att bestämma $\frac{dx}{dr}$ och $\frac{dy}{dr}$ är enkelt. Exempelvis är $\frac{dx}{dr} = \frac{d}{dr} r\cos\theta = \cos\theta$.

Du får genom ovanstående ett uttryck för $\frac{df}{dr}$ uttryckt i termer av $\frac{df}{dx}$ och $\frac{df}{dy}$.

För att sedan bestämma $\frac{d^2f}{dr^2}$ tar vi och deriverar det uttryck vi fått med avseende på r igen. Vi kan då använda att

$\frac{d}{dr}\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{df}{dx}\frac{dx}{dr}) + \frac{d}{dy}(\frac{df}{dy}\frac{dy}{dr})=\frac{d^2f}{dx^2}\cos\theta + \frac{d^2f}{dxdy}\sin\theta$.

Något liknande gäller för $y$. Vi kan på så sätt bestämma ett uttryck för $\frac{d^2f}{dr^2}$ uttryckt i termer av andraderivatorna av f med avseende på x och y.

På liknande sätt kan man få uttryck för $\frac{df}{d\theta}$ och $\frac{d^2f}{d\theta^2}$.

Dessa två uttryck kan nu användas för att uttrycka $\frac{d^2f}{dx^2}+\frac{d^2f}{dy^2}$ i termer av $\frac{d^2f}{dr^2}$ och $\frac{d^2f}{d\theta^2}$, vilket är vårt mål.