3 svar
71 visningar
itter Online 441
Postad: 24 jan 17:14

Transformation till polära koordinater

Hej! Jag har en uppgift här som jag inte har den blekaste aning hur man ska lösa, skulle verkligen behöva hjälp och kanske tips var man kan lära sig detta!

MaKe 627
Postad: 24 jan 17:27

Se här.

itter Online 441
Postad: 25 jan 14:21

Tyvärr gjorde detta mig lite mer förvirrad..

Gustor 414
Postad: 25 jan 14:53 Redigerad: 25 jan 15:09

Ett tips är att använda kedjeregeln. Om du t.ex. vill bestämma dfdr\frac{df}{dr} kan du utnyttja att dfdr=dfdxdxdr+dfdydydr\frac{df}{dr} =\frac{df}{dx}\frac{dx}{dr} + \frac{df}{dy}\frac{dy}{dr}.

Att bestämma dxdr\frac{dx}{dr} och dydr\frac{dy}{dr} är enkelt. Exempelvis är dxdr=ddrrcosθ=cosθ\frac{dx}{dr} = \frac{d}{dr} r\cos\theta = \cos\theta.

Du får genom ovanstående ett uttryck för dfdr\frac{df}{dr} uttryckt i termer av dfdx\frac{df}{dx} och dfdy\frac{df}{dy}.

För att sedan bestämma d2fdr2\frac{d^2f}{dr^2} tar vi och deriverar det uttryck vi fått med avseende på r igen. Vi kan då använda att

ddrdfdx=ddx(dfdxdxdr)+ddy(dfdydydr)=d2fdx2cosθ+d2fdxdysinθ\frac{d}{dr}\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{df}{dx}\frac{dx}{dr}) + \frac{d}{dy}(\frac{df}{dy}\frac{dy}{dr})=\frac{d^2f}{dx^2}\cos\theta + \frac{d^2f}{dxdy}\sin\theta.

Något liknande gäller för yy. Vi kan på så sätt bestämma ett uttryck för d2fdr2\frac{d^2f}{dr^2} uttryckt i termer av andraderivatorna av f med avseende på x och y.

På liknande sätt kan man få uttryck för dfdθ\frac{df}{d\theta} och d2fdθ2\frac{d^2f}{d\theta^2}.

Dessa två uttryck kan nu användas för att uttrycka d2fdx2+d2fdy2\frac{d^2f}{dx^2}+\frac{d^2f}{dy^2} i termer av d2fdr2\frac{d^2f}{dr^2} och d2fdθ2\frac{d^2f}{d\theta^2}, vilket är vårt mål.

Svara
Close