Transformera differentialekvation

Kolla på differential uttryck!

Differentialen df =

 $$\begin{gathered} =\frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv=\frac{\partial f}{\partial u}d(2x+y)+\frac{\partial f}{\partial v}d(x-2y)= \\ =(2\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v})dx+(\frac{\partial f}{\partial u}-2\frac{\partial f}{\partial v})dy \\ Alltså : \\ \frac{\partial f}{\partial x}=(2\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=(\frac{\partial f}{\partial u}-2\frac{\partial f}{\partial v}) \end{gathered}$$

Sen är det bara att derivera vidare!

Hoppas det blev rätt och hjälper dig vidare :)

hej, jag förstår inte hur man löser uppgiften, vilken metod använder man?

vart får du  du ifrån?

Syftet med uppgiften är att du ska träna på partiella derivator, kedjeregeln och variabeltransformation. Vår transformation är

$u=u(x,y)$

$v=v(x,y)$

När du deriverar en funktion $f(u(x,y),v(x,y))$ måste du använda kedjeregeln, t.ex. gäller

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

Men eftersom du känner till $\frac{\partial u}{\partial x}=2$ och $\frac{\partial v}{\partial x}=1$ kan du förenkla till

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}$

Målet är nu att plocka fram uttryck för resten av derivatorna och ersätta dessa i differentialekvationen, du kommer då upptäcka att den blir mycket enklare att lösa.

Om jag förstått rätt så får jag att 

$\frac{df}{dy}=\frac{df}{du}-2\frac{df}{dv}$

Hur går jag vidare nu?  Jag vet vad df/dx och df/dy men hur kan jag ta reda på df/du och df/dv?

Hur ser ekvationen df ut?

jag har nu kommit fram till att

$\frac{d^{2}f}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}·\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}\left(2\frac{df}{du}+\frac{df}{dv}\right)$

hur kan jag ta reda på $\frac{d}{dx}$?

på uppgift a fick jag:  $\frac{5 {\partial }^{2}f }{\partial u\partial v}=\frac{ \partial f }{\partial u}$

hur löser jag b?