Transformera f"xy till nya variablerna

$$\begin{gathered} \frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta y}=\frac{\delta }{\delta x}\left(\frac{\delta f}{\delta y}\right)=\frac{\delta }{\delta x}\left(\frac{\delta f}{\delta u}+\frac{\delta f}{\delta v}*x\right)= \\ \frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta u}+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta v}*x+\frac{\delta f}{\delta v}*\frac{\delta x}{\delta x}= \\ \frac{\delta }{\delta u}\left(\frac{\delta f}{\delta x}\right)+\frac{\delta }{\delta v}\left(\frac{\delta f}{\delta x}\right)*x+\frac{\delta f}{\delta v} \end{gathered}$$

Kommer du vidare härifrån?

Bedinsis skrev:

$$\begin{gathered} \frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta y}=\frac{\delta }{\delta x}\left(\frac{\delta f}{\delta y}\right)=\frac{\delta }{\delta x}\left(\frac{\delta f}{\delta u}+\frac{\delta f}{\delta v}*x\right)= \\ \frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta u}+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta v}*x+\frac{\delta f}{\delta v}*\frac{\delta x}{\delta x}= \\ \frac{\delta }{\delta u}\left(\frac{\delta f}{\delta x}\right)+\frac{\delta }{\delta v}\left(\frac{\delta f}{\delta x}\right)*x+\frac{\delta f}{\delta v} \end{gathered}$$

Kommer du vidare härifrån?

Inte riktigt för jag förstår inte vad du skrivit ovan. Är super förvirrad! Speciellt termen som är det här till det här och hur du fick fram dem.

$\frac{\delta }{\delta u}\left(\right)$innebär att vi vill derivera det i parentesen med avseende på u.

$\frac{\delta f}{\delta x}$är derivatan av f med avseende på x.

Eftersom att du har uttryck för det senare kan du ersätta parenteserna med det och sedan räkna på vad som händer då man så småningom deriverar det med avseende på u respektive v.

$\frac{\delta x}{\delta x}$är derivatan av x med avseende på x, dvs. 1.

Bedinsis skrev:

$\frac{\delta }{\delta u}\left(\right)$innebär att vi vill derivera det i parentesen med avseende på u.

$\frac{\delta f}{\delta x}$är derivatan av f med avseende på x.

Eftersom att du har uttryck för det senare kan du ersätta parenteserna med det och sedan räkna på vad som händer då man så småningom deriverar det med avseende på u respektive v.

$\frac{\delta x}{\delta x}$är derivatan av x med avseende på x, dvs. 1.

Jag är fortfarande inte helt med här. Så jag kan inte gå vidare.

Låt mig räkna vidare en bit och förklara

$$\begin{gathered} \frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta y}=\frac{\delta }{\delta x}\left(\frac{\delta f}{\delta y}\right)=\frac{\delta }{\delta x}\left(\frac{\delta f}{\delta u}+\frac{\delta f}{\delta v}*x\right)= \\ \frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta u}+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta v}*x+\frac{\delta f}{\delta v}*\frac{\delta x}{\delta x}= \\ \frac{\delta }{\delta u}\left(\frac{\delta f}{\delta x}\right)+\frac{\delta }{\delta v}\left(\frac{\delta f}{\delta x}\right)*x+\frac{\delta f}{\delta v}= \\ \frac{\delta }{\delta u}\left(\frac{\delta f}{\delta u}+\frac{\delta f}{\delta v}*y\right)+\frac{\delta }{\delta v}\left(\frac{\delta f}{\delta u}+\frac{\delta f}{\delta v}*y\right)*x+\frac{\delta f}{\delta v}= \\ \frac{{\delta }^{2}f}{\delta u^2}+\frac{\delta }{\delta u}\left(\frac{\delta f}{\delta v}*y\right)+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta v\delta u}*x+\frac{\delta }{\delta v}\left(\frac{\delta f}{\delta v}*y\right)*x+\frac{\delta f}{\delta v}= \\ \frac{{\delta }^{2}f}{\delta u^2}+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta u\delta v}*y+\frac{\delta f}{\delta v}*\frac{\delta y}{\delta u}+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta v\delta u}*x+\frac{{\delta }^{2}f}{\delta v^2}*y*x+\frac{\delta f}{\delta v}*\frac{\delta y}{\delta v}x+\frac{\delta f}{\delta v} \end{gathered}$$

Det är många termer här så låt oss hålla oss till den blåa:

Det vi först efterfrågar är vad derivatan med avseende på u är på [derivatan av f med avseende på x].

Derivatan av f med avseende på x är en funktion, eller snarare en summa av två funktioner, som du räknat ut i dina anteckningar. Så vi kan på samma sätt dela upp dess derivata i dessa två delar.

För vill vi ta derivatan med avseende på u på [derivatan av f med avseende på u]. Detta är egentligen att vi tagit derivatan två gånger och är alltså som en vanlig andraderivata, så den termen kan skrivas som vi lärt oss i endim.

Sedan vill vi ha derivatan med avseende på u på funktionen [derivatan av f med avseende på v * y]. Detta är en sammansatt funktion, som består av multiplikationen av två funktioner, [derivatan av f med avseende på v] respektive [y]. På samma sätt som derivatan av funktionen

x*sin(x)

ges av

der(x)*sin(x)+x*der(sin(x))=1*sin(x)+x*cos(x)

får vi nu ta derivatan av respektive faktor gånger den andra faktorn och addera samman de två produkterna.

Derivatan med avseende på u på funktionen [derivatan av f med avseende på v] kan vi inte göra något med, det är bara att konstatera att det är två gånger deriverat med avseende på två olika variabler, precis som att $f_{xy}\text{'}\text{'}=\frac{{\delta }^{2}f}{\delta x\delta y}$, så vi får $\frac{{\delta }^{2}f}{\delta u\delta v}$.

Derivatan med avseende på u på funktionen [y] blir $\frac{\delta y}{\delta u}$. Nästa steg är att utnyttja ditt kända förhållande mellan u och y för att räkna ut derivatan.

Gav det här nånting?