Transformteori -Differentialekvation m.h.a Laplacetransform

Vore fint om du ville  visa differentialekvationen.

Dina kalkyler på frekvenssidan verkar stämma, vad jag ser.

Inverstransformering: Jag tittar på varje term för sig.

$e^{-2s}\cdot \dfrac{2}{(s+1)^2+4}$. Här har du en fördröjning på tidssidan, en dämpad sinus.

$\dfrac{1}{s(s^2+2s+5)}$. Här måste du göra en partialbråksansats:

$\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+2s+5}$, vilket ger oss en konstant plus dämpade sinus- och cosinustermer på tidssidan.

$\dfrac{2s}{(s+1)^2+4}$. Gör omskrivning: $2\dfrac{s+{\color{red}1-1}}{(s+1)^2+4}=2\dfrac{s+1}{(s+1)^2+4}-\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$, dvs dämpade cosinus- och sinus.

Kan du fortsätta själv?

Ja, från partialbråksuppdelningen fick jag:

 $$\begin{gathered} A(s^2+2s+5)+(Bs+C)s = 1 \iff \\ (A+B)s^2+(2A+C)s+5A =\hspace{0.17em}1 \end{gathered}$$

och därmed A = 1/5, B = -1/5 och C = -2/5.

$Y\left(s\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{s({(s+1)}^2+4)}=\frac{1}{5}\frac{1}{s}-\frac{1}{5}\frac{s}{({(s+1)}^2+4)}-\frac{2}{5}\frac{1}{({(s+1)}^2+4)}$

verkar ok. Glöm inte att fixa täljaren i cosinustermen. Jag demonstrerade det i mitt förra svar - rödmarkerat. Sen måste du fixa så att du får rätt täljarkonstant i sinustermen

$$\begin{gathered} Y\left(s\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{5}\frac{1}{s}+2\frac{(s+1)}{{(s+1)}^2+4}-\frac{2}{{(s+1)}^2+4}-\frac{1}{5}\frac{(s+1)}{{(s+1)}^2+4}+\frac{1}{5}\frac{1}{{(s+1)}^2+4}-\frac{2}{5}\frac{1}{{(s+1)}^2+4}+\frac{2}{{(s+1)}^2+4}\iff \\ Y\left(s\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{5}\frac{1}{s}+2\frac{(s+1)}{{(s+1)}^2+4}-\frac{1}{5}\frac{(s+1)}{{(s+1)}^2+4}-\frac{1}{5}\frac{1}{{(s+1)}^2+4}\iff \\ Y\left(s\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{5}\frac{1}{s}+\frac{9}{5}\frac{s}{{(s+1)}^2+4}+\frac{8}{5}\frac{1}{{(s+1)}^2+4} \\ slutligen \\ Y\left(s\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{e}^{-2s}\frac{2}{{(s+1)}^2+4}+\frac{1}{5}\frac{1}{s}+\frac{9}{5}\frac{s}{{(s+1)}^2+4}+\frac{8}{5}\frac{1}{{(s+1)}^2+4}. \end{gathered}$$

svårt att få en överblick om alla tecken stämmer... men vet vad facit säger iallafall. Tack för tips om att skriva om 2s till 2(s+1) -2 :) Tycker det är svårast sen att ta fram inverstransformen av tidsfördröjningen. 

Beträffande termen $F(s)=e^{-2s}\cdot\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$. Bestäm $f(t)$

Tips: Studera $G(s)=F(s)$  utan exponentialterm.

$G(s)=\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$. Inverstranformering:

$g(t)=e^{-t}\sin (2t).$

Därefter: Multiplicera $G(s)$ med $e^{-2s}$, dvs $F(s)=e^{-2s}\cdot\dfrac{2}{(s+1)^2+4}$.

Tidsfördröjning 2 tidsenheter:

$f(t)=\Theta(t-2)\cdot e^{-(t-2)}\sin (2(t-2))$,

där $\Theta (t)$ är Heavisides stegfunktion.

OK?