20 svar
366 visningar
AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020

Tre cirklar i kvadrat

Hej!

Här kommer en geometrikluring som jag tycker är ganska svår. Men det fina med geometrikluringar är att det ofta finns flera sätt att lösa dem på, så det kanske finns en enkel lösning jag inte är medveten om! :-)

Problemet lyder i alla fall:

Bestäm arean av det färgade området i följande figur exakt.

Bonuspoäng till den som kan komma med flera olika lösningar.

Qetsiyah 4745 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 feb 2020 Redigerad: 8 feb 2020

Integraler

Edit: återkommer. Och, kan man ens göra det icke-analytiskt? 

AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020
Qetsiyah skrev:

Integraler

Edit: återkommer. Och, kan man ens göra det icke-analytiskt? 

Det är väl egentligen lite del i kluringen att avgöra men jag kan säga att...

Visa spoiler

... det går definitivt. Jag har en lösning som bara använder sig av matematik de gamla grekerna kände till.

(Jag antar att du med 'icke-analytiskt' menar utan integral- och differentialkalkyl)

emmynoether 844
Postad: 8 feb 2020

Det går definitivt att lösa med ett ekvationssystem i alla fall. :)

AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020
emmynoether skrev:

Det går definitivt att lösa med ett ekvationssystem i alla fall. :)

Kan man få se vilket ekvationssystem?

(Jag tror tyvärr nämligen inte det är så enkelt...)

Betyder inte analytiskt att man inför ett koordinatsystem? Kanske inte behöver integralkalkyl menar jag.

emmynoether 844
Postad: 8 feb 2020

Jag återkommer med det, jag tyckte bara mig se att det ska finnas tillräckligt med information för att ställa upp det. Jag ska testa om jag får komma tillbaka med svansen mellan benen!

AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020
Qetsiyah skrev:

Betyder inte analytiskt att man inför ett koordinatsystem? Kanske inte behöver integralkalkyl menar jag.

Jaha, du tänker på analytisk som i analytisk geometri. Hur som helst gäller det jag skrev ovan ändå. :-)

AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020
emmynoether skrev:

Jag återkommer med det, jag tyckte bara mig se att det ska finnas tillräckligt med information för att ställa upp det. Jag ska testa om jag får komma tillbaka med svansen mellan benen!

Det gäller att komma ihåg att tumregeln "lika många ekvationer som obekanta" inte alltid gäller. Ofta vid sådana här geometriproblem kan man ställa upp väldigt många fler ekvationer än antalet obekanta som sedan visar sig ändå vara otillräckliga eftersom de kan uttryckas som linjärkombinationer av varandra.

Men om du lyckas blir jag verkligen nyfiken!

emmynoether 844
Postad: 8 feb 2020
AlvinB skrev:
emmynoether skrev:

Jag återkommer med det, jag tyckte bara mig se att det ska finnas tillräckligt med information för att ställa upp det. Jag ska testa om jag får komma tillbaka med svansen mellan benen!

Det gäller att komma ihåg att tumregeln "lika många ekvationer som obekanta" inte alltid gäller. Ofta vid sådana här geometriproblem kan man ställa upp väldigt många fler ekvationer än antalet obekanta som sedan visar sig ändå vara otillräckliga eftersom de kan uttryckas som linjärkombinationer av varandra.

Men om du lyckas blir jag verkligen nyfiken!

Jo, givetvis. Jag skrev ner dem nu och jag tycker mig se att de är linjärt oberoende faktiskt ;) Jag måste återkomma senare med svar då jag måste ut och handla. Men jag tror det ska fungera!

Qetsiyah 4745 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 8 feb 2020 Redigerad: 8 feb 2020

emmynoether skrev:

Jag skrev ner dem nu och jag tycker mig se att de är linjärt oberoende faktiskt ;)

Jaha? Vilken innovation! Jag väntar också ivrigt

emmynoether 844
Postad: 8 feb 2020 Redigerad: 8 feb 2020

Okej vi utgår från denna:

Visa spoiler

Vi kan skriva ner 6 oberoende ekvationer där varje ekvation ger "ny information", och således måste de även vara linjärt oberoende. Jag börjar utifrån och jobbar inåt.

Ekvation  1 : arean av alla bitar måste summeras till arenan av kvadraten, 

a+b+c+d+e+f=100a+b+c+d+e+f =100.

Ekvation 2: arean av a + d ger är lika med arean av kvadraten minus arean av kvartscirkeln med radie 10,

100-100·π/4=a+d100-100 \cdot \pi / 4 = a+d.

Ekvation 3: arean av samma kvartscirkel är summan av b,c,e,f,

100·π/4=b+c+e+f100 \cdot \pi / 4 = b+c+e+f.

Ekvation 4: arean av den nedre halvcirkeln är lika med arean av c och f,

25·π/2=c+f25\cdot \pi /2 =c+f.

Ekvation 5: samma för den vänstra halvcirkeln,

25·π/2=a+b+c25\cdot \pi /2 =a+b+c,

Slutligen ekvation 6: Halvcirklarna är lika stora,

a+b+c=c+fa+b=fa+b+c = c+f \Leftrightarrow a+b = f.

Det borde inte vara några problem att lösa för b (om jag inte missar något).

 

EDIT: Jag ser nu att ekvation 1, 2 och 3 ser ut att vara lin. beroende, eventuellt behövs en ekvation till (attans). Kanske någon kan hitta en?

EDIT 2: Ekv. 4, 5 och 6 verkar också vara det. Min idé faller isär :D

AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020

Ett tappert försök (och mycket snygg uppställning!), men tyvärr är dina ekvationer inte linjärt oberoende.

Att se det med blotta ögat är svårt, men att skriva det på matrisform Ax=bAx=b, gör analysen lättare. Vi får att

A=11111110010001101100100111100011000-1A=\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&0&0&1&0&0\\0&1&1&0&1&1\\0&0&1&0&0&1\\1&1&1&0&0&0\\1&1&0&0&0&-1\end{bmatrix}

och med exempelvis Symbolab kan vi visa att det(A)=0\det(A)=0, vilket innebär att dina ekvationer inte är linjärt oberoende och därför inte kommer ge en entydig lösning.

emmynoether 844
Postad: 8 feb 2020

Precis, se mina Edits ovan. Men det går definitivt att hitta ett ekvationssystem för detta, annars skulle det vara olösbart i mina ögon. Jag återkommer när jag faktiskt har en lösning och har löst den (om ingen hinner före).

AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020
emmynoether skrev:

Precis, se mina Edits ovan. Men det går definitivt att hitta ett ekvationssystem för detta, annars skulle det vara olösbart i mina ögon. Jag återkommer när jag faktiskt har en lösning och har löst den (om ingen hinner före).

Jag som sitter på lite extra kunskap angående detta problem (nämligen svaret) ser att ett så här enkelt resonemang inte kommer att fungera (vilket du förmodligen också kommer inse när du får se svaret).

Mer precist är vad jag säger att enbart areor av kvadrater och cirklar aldrig kommer att ge ett ekvationssystem med ett entydigt svar.

AlvinB skrev:

Mer precist är vad jag säger att enbart areor av kvadrater och cirklar aldrig kommer att ge ett ekvationssystem med ett entydigt svar.

Det är ett tungt påstående, hur kan du veta det?

AlvinB 3847
Postad: 8 feb 2020
Qetsiyah skrev:
AlvinB skrev:

Mer precist är vad jag säger att enbart areor av kvadrater och cirklar aldrig kommer att ge ett ekvationssystem med ett entydigt svar.

Det är ett tungt påstående, hur kan du veta det?

Ja, nu måste jag kanske precisera mig ännu mer:

Rationella multipler av areorna av cirklarna och kvadraterna i figuren kommer aldrig att ge ett ekvationssystem med ett entydigt svar.

Om jag inte säger rationella multipler på detta vis är ju påståendet uppenbart falskt, ty jag kan då multiplicera arean av en cirkel med svaret/(πr2)\text{svaret}/(\pi r^2) och på så sätt få svaret.

Att förklara varför jag kan säga detta kräver nästan att jag visar svaret, så jag väntar lite med det. Men min poäng var att det krävs något mer än bara ekvationssystem av den typ som emmynoether ställde upp.

Firebird 68
Postad: 9 feb 2020

Här är ett youtube klipp med tre olika lösningsförslag som ni kan jämföra med era egna lösningar.

Visa spoiler

https://youtu.be/cPNdvdYn05c

AlvinB 3847
Postad: 9 feb 2020
Firebird skrev:

Här är ett youtube klipp med tre olika lösningsförslag som ni kan jämföra med era egna lösningar.

Visa spoiler

https://youtu.be/cPNdvdYn05c

Jäklar!

Och här satt jag och trodde att jag hade ett "nytt problem"!

Men nu när vi har fått svaret avslöjat, nämligen 75arctan(1/2)-2575\arctan(1/2)-25, kan vi se varför jag kunde säga att emmynoethers ekvationssystem var dömt till misslyckande. arctan(1/2)\arctan(1/2) är nämligen inte en rationell multipel av π\pi, och därför kommer vi aldrig att få ut en sådan term ur ekvationssystem med rationella multiplar av areor av cirklarna och kvadraterna i figuren.

Men bara för att vi fått svaret serverat på ett silverfat betyder inte det att det inte finns mer att göra. Jag har faktiskt en lösning som inte finns med i Youtube-klippet. Den har jag skrivit upp här (det blev långrandigt, mest för att förklara tydligt, inte för att lösningen är krånglig). Någon kanske kan komma med ytterligare en lösning?

Nahoma 1
Postad: 9 feb 2020

Går säkert snabbare med avancerad matte, men så här tänkte jag.

AlvinB 3847
Postad: 9 feb 2020
Nahoma skrev:

Går säkert snabbare med avancerad matte, men så här tänkte jag.
[...]

Tyvärr har du ett fel i din beräkning i steg 5. Detta fel gör att hela metoden fallerar.

Som vi diskuterade tidigare i tråden är ett sådant här resonemang inte fruktsamt, eftersom du aldrig kommer att få arctan(1/2)\arctan(1/2)-termen som finns i svaret. Du måste rita nya linjer i figuren på något sätt.

Svara Avbryt
Close